如图，在平面直角坐标系中，抛物线ymx24mx−5m(m<0-优题课

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = m x^{2} + 4 mx - 5 m (m < 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），该抛物线的对称轴与直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 相交于点 $E$ ，与 $x$ 轴相交于点 $D$ ，点 $P$ 在直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上（不与原点重合），连接 $PD$ ，过点 $P$ 作 $PF ⊥ PD$ 交 $y$ 轴于点 $F$ ，连接 $DF$ ．

（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为 $6 \sqrt{3}$ ，求抛物线的解析式；

（2）求 $A$ 、 $B$ 两点的坐标；

（3）如图②所示，小红在探究点 $P$ 的位置发现：当点 $P$ 与点 $E$ 重合时， $∠ PDF$ 的大小为定值，进而猜想：对于直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上任意一点 $P$ （不与原点重合）， $∠ PDF$ 的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx - 5$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴于点 $B (- 5, 0)$ 和点 $C (1, 0)$ ，过点 $A$ 作 $AD / / x$ 轴交抛物线于点 $D$ ．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）点 $E$ 是抛物线上一点，且点 $E$ 关于 $x$ 轴的对称点在直线 $AD$ 上，求 $ΔEAD$ 的面积；

（3）若点 $P$ 是直线 $AB$ 下方的抛物线上一动点，当点 $P$ 运动到某一位置时， $ΔABP$ 的面积最大，求出此时点 $P$ 的坐标和 $ΔABP$ 的最大面积．

问题情境：

在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将：矩形纸片 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 剪开，得到 $ΔABC$ 和 $ΔACD$ ．并且量得 $AB = 2 cm$ ， $AC = 4 cm$ ．

操作发现：

（1）将图1中的 $ΔACD$ 以点 $A$ 为旋转中心，按逆时针方向旋转 $∠ α$ ，使 $∠ α = ∠ BAC$ ，得到如图2所示的△ $AC' D$ ，过点 $C$ 作 $AC'$ 的平行线，与 $D C^{'}$ 的延长线交于点 $E$ ，则四边形 $ACEC'$ 的形状是　　．

（2）创新小组将图1中的 $ΔACD$ 以点 $A$ 为旋转中心，按逆时针方向旋转，使 $B$ 、 $A$ 、 $D$ 三点在同一条直线上，得到如图3所示的△ $AC' D$ ，连接 $C C^{'}$ ，取 $CC'$ 的中点 $F$ ，连接 $AF$ 并延长至点 $G$ ，使 $FG = AF$ ，连接 $CG$ 、 $C' G$ ，得到四边形 $ACGC'$ ，发现它是正方形，请你证明这个结论．

实践探究：

（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将 $ΔABC$ 沿着 $BD$ 方向平移，使点 $B$ 与点 $A$ 重合，此时 $A$ 点平移至 $A^{'}$ 点， $A^{'} C$ 与 $BC'$ 相交于点 $H$ ，如图4所示，连接 $CC'$ ，试求 $\tan ∠ C' CH$ 的值．

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 36 °$ ，过点 $A$ 作 $AD / / BC$ ，与 $∠ ABC$ 的平分线交于点 $D$ ， $BD$ 与 $AC$ 交于点 $E$ ，与 $⊙ O$ 交于点 $F$ ．

（1）求 $∠ DAF$ 的度数；

（2）求证： $A E^{2} = EF \cdot ED$ ；

（3）求证： $AD$ 是 $⊙ O$ 的切线．

为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某中学利用“阳光大课间”，组织学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩用如图的折线统计图表示：（甲为实线，乙为虚线）

（1）依据折线统计图，得到下面的表格：

射击次序（次 $)$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
甲的成绩（环 $)$	8	9	7	9	8	6	7	$a$	10	8
乙的成绩（环 $)$	6	7	9	7	9	10	8	7	$b$	10

其中 $a =$ 　， $b =$ 　　；

（2）甲成绩的众数是　　环，乙成绩的中位数是　　环；

（3）请运用方差的知识，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？

（4）该校射击队要参加市组织的射击比赛，已预选出2名男同学和2名女同学，现要从这4名同学中任意选取2名同学参加比赛，请用列表或画树状图法，求出恰好选到1男1女的概率．

如图，已知点 $D$ 在反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 的图象上，过点 $D$ 作 $DB ⊥ y$ 轴，垂足为 $B (0, 3)$ ，直线 $y = kx + b$ 经过点 $A (5, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $BD = OC$ ， $OC : OA = 2 : 5$ ．

（1）求反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 和一次函数 $y = kx + b$ 的表达式；

（2）直接写出关于 $x$ 的不等式 $\frac{a}{x} > kx + b$ 的解集．