如图①，ΔABC中，∠ABC45°，AH⊥BC于点H，点D在-优题课

重庆某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖20年，点赞新重庆”作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题．

（1）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是　　度，并补全条形统计图；

（2）经过评审，全校有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率．

如图， $AB / / CD$ ，点 $E$ 是 $CD$ 上一点， $∠ AEC = 42 °$ ， $EF$ 平分 $∠ AED$ 交 $AB$ 于点 $F$ ，求 $∠ AFE$ 的度数．

如图1，二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1$ 的图象与一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 的坐标为 $(0, 1)$ ，点 $B$ 在第一象限内，点 $C$ 是二次函数图象的顶点，点 $M$ 是一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴的交点，过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$ ，且 $S_{ΔAMO} : S_{四边形 AONB} = 1 : 48$ ．

（1）求直线 $AB$ 和直线 $BC$ 的解析式；

（2）点 $P$ 是线段 $AB$ 上一点，点 $D$ 是线段 $BC$ 上一点， $PD / / x$ 轴，射线 $PD$ 与抛物线交于点 $G$ ，过点 $P$ 作 $PE ⊥ x$ 轴于点 $E$ ， $PF ⊥ BC$ 于点 $F$ ．当 $PF$ 与 $PE$ 的乘积最大时，在线段 $AB$ 上找一点 $H$ （不与点 $A$ ，点 $B$ 重合），使 $GH + \frac{\sqrt{2}}{2} BH$ 的值最小，求点 $H$ 的坐标和 $GH + \frac{\sqrt{2}}{2} BH$ 的最小值；

（3）如图2，直线 $AB$ 上有一点 $K (3, 4)$ ，将二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1$ 沿直线 $BC$ 平移，平移的距离是 $t (t ⩾ 0)$ ，平移后抛物线上点 $A$ ，点 $C$ 的对应点分别为点 $A'$ ，点 $C'$ ；当△ $A' C' K$ 是直角三角形时，求 $t$ 的值．

已知 $ΔABC$ 是等腰直角三角形， $∠ BAC = 90 °$ ， $CD = \frac{1}{2} BC$ ， $DE ⊥ CE$ ， $DE = CE$ ，连接 $AE$ ，点 $M$ 是 $AE$ 的中点．

（1）如图1，若点 $D$ 在 $BC$ 边上，连接 $CM$ ，当 $AB = 4$ 时，求 $CM$ 的长；

（2）如图2，若点 $D$ 在 $ΔABC$ 的内部，连接 $BD$ ，点 $N$ 是 $BD$ 中点，连接 $MN$ ， $NE$ ，求证： $MN ⊥ AE$ ；

（3）如图3，将图2中的 $ΔCDE$ 绕点 $C$ 逆时针旋转，使 $∠ BCD = 30 °$ ，连接 $BD$ ，点 $N$ 是 $BD$ 中点，连接 $MN$ ，探索 $\frac{MN}{AC}$ 的值并直接写出结果．

我们知道，任意一个正整数 $n$ 都可以进行这样的分解： $n = p \times q (p$ ， $q$ 是正整数，且 $p ⩽ q)$ ，在 $n$ 的所有这种分解中，如果 $p$ ， $q$ 两因数之差的绝对值最小，我们就称 $p \times q$ 是 $n$ 的最佳分解．并规定： $F (n) = \frac{p}{q}$ ．例如12可以分解成 $1 \times 12$ ， $2 \times 6$ 或 $3 \times 4$ ，因为 $12 - 1 > 6 - 2 > 4 - 3$ ，所以 $3 \times 4$ 是12的最佳分解，所以 $F (12) = \frac{3}{4}$ ．

（1）如果一个正整数 $a$ 是另外一个正整数 $b$ 的平方，我们称正整数 $a$ 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数 $m$ ，总有 $F (m) = 1$ ；

（2）如果一个两位正整数 $t$ ， $t = 10 x + y (1 ⩽ x ⩽ y ⩽ 9$ ， $x$ ， $y$ 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数 $t$ 为"吉祥数"，求所有"吉祥数"中 $F (t)$ 的最大值．