ΔABC中，∠BAC90°，ABAC，点D为直线BC上一动点-优题课

$ΔABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $AB = AC$ ，点 $D$ 为直线 $BC$ 上一动点（点 $D$ 不与 $B$ ， $C$ 重合），以 $AD$ 为边在 $AD$ 右侧作正方形 $ADEF$ ，连接 $CF$ ．

（1）观察猜想

如图1，当点 $D$ 在线段 $BC$ 上时，

① $BC$ 与 $CF$ 的位置关系为：　　．

② $BC$ ， $CD$ ， $CF$ 之间的数量关系为：　　；（将结论直接写在横线上）

（2）数学思考

如图2，当点 $D$ 在线段 $CB$ 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展延伸

如图3，当点 $D$ 在线段 $BC$ 的延长线上时，延长 $BA$ 交 $CF$ 于点 $G$ ，连接 $GE$ ．若已知 $AB = 2 \sqrt{2}$ ， $CD = \frac{1}{4} BC$ ，请求出 $GE$ 的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：全等三角形的判定与性质正方形的性质四边形综合题等腰直角三角形

已知抛物线与 $x$ 轴交于 $A (6, 0)$ 、 $B (- \frac{5}{4}$ ， $0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，过抛物线上点 $M (1, 3)$ 作 $MN ⊥ x$ 轴于点 $N$ ，连接 $OM$ ．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如图1，将 $ΔOMN$ 沿 $x$ 轴向右平移 $t$ 个单位 $(0 ⩽ t ⩽ 5)$ 到△ $O' M' N'$ 的位置， $M' N'$ 、 $M' O'$ 与直线 $AC$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ ．

①当点 $F$ 为 $M' O'$ 的中点时，求 $t$ 的值；

②如图2，若直线 $M' N'$ 与抛物线相交于点 $G$ ，过点 $G$ 作 $GH / / M' O'$ 交 $AC$ 于点 $H$ ，试确定线段 $EH$ 是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $Rt Δ ABC$ 绕点 $A$ 顺时针旋转到 $Rt Δ ADE$ 的位置，点 $E$ 在斜边 $AB$ 上，连接 $BD$ ，过点 $D$ 作 $DF ⊥ AC$ 于点 $F$ ．

（1）如图1，若点 $F$ 与点 $A$ 重合，求证： $AC = BC$ ；

（2）若 $∠ DAF = ∠ DBA$ ，

①如图2，当点 $F$ 在线段 $CA$ 的延长线上时，判断线段 $AF$ 与线段 $BE$ 的数量关系，并说明理由；

②当点 $F$ 在线段 $CA$ 上时，设 $BE = x$ ，请用含 $x$ 的代数式表示线段 $AF$ ．

如图，“中国海监50”正在南海海域 $A$ 处巡逻，岛礁 $B$ 上的中国海军发现点 $A$ 在点 $B$ 的正西方向上，岛礁 $C$ 上的中国海军发现点 $A$ 在点 $C$ 的南偏东 $30 °$ 方向上，已知点 $C$ 在点 $B$ 的北偏西 $60 °$ 方向上，且 $B$ 、 $C$ 两地相距120海里．

（1）求出此时点 $A$ 到岛礁 $C$ 的距离；

（2）若“中海监50”从 $A$ 处沿 $AC$ 方向向岛礁 $C$ 驶去，当到达点 $A'$ 时，测得点 $B$ 在 $A'$ 的南偏东 $75 °$ 的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注 $:$ 结果保留根号）

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的坐标分别是 $(1, 0)$ 、 $(3, 1)$ 、 $(3, 3)$ ，双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 过点 $D$ ．

（1）求双曲线的解析式；

（2）作直线 $AC$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，连接 $DE$ ，求 $ΔCDE$ 的面积．

如图，在 $⊙ O$ 中，点 $C$ 是直径 $AB$ 延长线上一点，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线，切点为 $D$ ，连接 $BD$ ．

（1）求证： $∠ A = ∠ BDC$ ；

（2）若 $CM$ 平分 $∠ ACD$ ，且分别交 $AD$ 、 $BD$ 于点 $M$ 、 $N$ ，当 $DM = 1$ 时，求 $MN$ 的长．