为了切实关注、关爱贫困家庭学生，某校对全校各班贫困家庭学生的-优题课

为了切实关注、关爱贫困家庭学生，某校对全校各班贫困家庭学生的人数情况进行了统计，以便国家精准扶贫政策有效落实．统计发现班上贫困家庭学生人数分别有2名、3名、4名、5名、6名，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图：

（1）求该校一共有多少个班？并将条形图补充完整；

（2）某爱心人士决定从2名贫困家庭学生的这些班级中，任选两名进行帮扶，请用列表法或树状图的方法，求出被选中的两名学生来自同一班级的概率．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：列表法与树状图法扇形统计图条形统计图

如图，在 $7 \times 7$ 的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点 $A$ ， $B$ 在格点上，每一个小正方形的边长为1．

（1）以 $AB$ 为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．

（2）计算你所画菱形的面积．

小敏与小霞两位同学解方程 $3 (x - 3) = {(x - 3)}^{2}$ 的过程如下框：

小敏：

两边同除以 $(x - 3)$ ，得

$3 = x - 3$ ，

则 $x = 6$ ．

小霞：

移项，得 $3 (x - 3) - {(x - 3)}^{2} = 0$ ，

提取公因式，得 $(x - 3) (3 - x - 3) = 0$ ．

则 $x - 3 = 0$ 或 $3 - x - 3 = 0$ ，

解得 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = 0$ ．

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“ $\sqrt$ ”；若错误请在框内打“ $\times$ ”，并写出你的解答过程．

（1）计算： $2^{- 1} + \sqrt{12} - \sin 30 °$ ；

（2）化简并求值： $1 - \frac{a}{a + 1}$ ，其中 $a = - \frac{1}{2}$ ．

已知在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 图象上的一个动点，连结 $AO$ ， $AO$ 的延长线交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x < 0)$ 的图象于点 $B$ ，过点 $A$ 作 $AE ⊥ y$ 轴于点 $E$ ．

（1）如图1，过点 $B$ 作 $BF ⊥ x$ 轴，于点 $F$ ，连接 $EF$ ．

①若 $k = 1$ ，求证：四边形 $AEFO$ 是平行四边形；

②连结 $BE$ ，若 $k = 4$ ，求 $ΔBOE$ 的面积．

（2）如图2，过点 $E$ 作 $EP / / AB$ ，交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x < 0)$ 的图象于点 $P$ ，连结 $OP$ ．试探究：对于确定的实数 $k$ ，动点 $A$ 在运动过程中， $ΔPOE$ 的面积是否会发生变化？请说明理由．

已知在 $ΔACD$ 中， $P$ 是 $CD$ 的中点， $B$ 是 $AD$ 延长线上的一点，连结 $BC$ ， $AP$ ．

（1）如图1，若 $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ CAD = 60 °$ ， $BD = AC$ ， $AP = \sqrt{3}$ ，求 $BC$ 的长．

（2）过点 $D$ 作 $DE / / AC$ ，交 $AP$ 延长线于点 $E$ ，如图2所示，若 $∠ CAD = 60 °$ ， $BD = AC$ ，求证： $BC = 2 AP$ ．

（3）如图3，若 $∠ CAD = 45 °$ ，是否存在实数 $m$ ，当 $BD = mAC$ 时， $BC = 2 AP$ ？若存在，请写出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．