如图，抛物线与 $x$轴交于点 $A(-5,0)$和点 $B(3,0)$．与 $y$轴交于点 $C(0,5)$．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿 $x$轴方向平移，与 $y$轴平行的一组对边交抛物线于点 $P$和 $Q$，交直线 $\mathit{AC}$于点 $M$和 $N$．交 $x$轴于点 $E$和 $F$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $M$和 $N$都在线段 $\mathit{AC}$上时，连接 $\mathit{MF}$，如果 $\sin \angle \mathit{AMF}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，求点 $Q$的坐标；

（3）在矩形的平移过程中，当以点 $P$， $Q$， $M$， $N$为顶点的四边形是平行四边形时，求点 $M$的坐标．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 二次函数综合题