通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在-优题课

通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．

【模型呈现】

如图，在 $Rt Δ ABC$ ， $∠ ACB = 90 °$ ，将斜边 $AB$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $AD$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ 于点 $E$ ，可以推理得到 $ΔABC ≅ ΔDAE$ ，进而得到 $AC = DE$ ， $BC = AE$ ．

我们把这个数学模型称为“ $K$ 型”．

推理过程如下：

【模型应用】

如图，在 $Rt Δ ABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ ACB = 90 °$ ， $BC = 2$ ，将斜边 $AB$ 绕点 $A$ 顺时针旋转一定的角度得到 $AD$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ 于点 $E$ ， $∠ DAE = ∠ ABC$ ， $DE = 1$ ，连接 $DO$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $AD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）连接 $FC$ 交 $AB$ 于点 $G$ ，连接 $FB$ ．求证： $F G^{2} = GO \cdot GB$ ．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：垂径定理旋转的性质相似三角形的判定与性质三角形的外接圆与外心全等三角形的判定与性质切线的判定

问题探究：

1．新知学习

若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”（例如圆的直径就是圆的“面径”）．

2．解决问题

已知等边三角形ABC的边长为2．

（1）如图一，若 $AD ⊥ BC$ ，垂足为D，试说明AD是△ABC的一条面径，并求AD的长；

（2）如图二，若 $ME ∥ BC$ ，且ME是△ABC的一条面径，求面径ME的长；

（3）如图三，已知D为BC的中点，连接AD，M为AB上的一点 $（ 0 ＜ AM ＜ 1 ）$ ，E是DC上的一点，连接ME，ME与AD交于点O，且 $S_{△ MOA} ＝ S_{△ DOE}$ ．

①求证：ME是△ABC的面径；

②连接AE，求证： $MD ∥ AE$ ；

（4）请你猜测等边三角形ABC的面径长l的取值范围（直接写出结果）

已知抛物线 $y ＝ a x^{2} + bx - 3$ 经过 $（﹣ 1 ， 0 ）$ ， $（ 3 ， 0 ）$ 两点，与y轴交于点C，直线 $y ＝ kx$ 与抛物线交于A，B两点．

（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；

（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；

（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为 $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$ ？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若AC＝4，BC＝2，求BD和CE的长．

某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该种商品每次降价的百分率；

（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？

如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．

（1）求证： $BE ＝ CD$ ；

（2）连接BF，若 $BF ⊥ AE$ ， $∠ BEA ＝ 60 °$ ， $AB ＝ 4$ 求平行四边形ABCD的面积．