如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PAPD，⊙O-优题课

如图，在菱形 $ABCD$ 中，点 $P$ 在对角线 $AC$ 上，且 $PA = PD$ ， $⊙ O$ 是 $ΔPAD$ 的外接圆．

（1）求证： $AB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AC = 8$ ， $\tan ∠ BAC = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形菱形的性质切线的判定

已知： $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $AB = 2$ ，弦 $DE = 1$ ，直线 $AD$ 与 $BE$ 相交于点 $C$ ，弦 $DE$ 在 $⊙ O$ 上运动且保持长度不变， $⊙ O$ 的切线 $DF$ 交 $BC$ 于点 $F$ ．

（1）如图1，若 $DE / / AB$ ，求证： $CF = EF$ ；

（2）如图2，当点 $E$ 运动至与点 $B$ 重合时，试判断 $CF$ 与 $BF$ 是否相等，并说明理由．

图1是太阳能热水器装置的示意图．利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角 $(θ)$ 确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：

如图2， $AB ⊥ BC$ ，垂足为点 $B$ ， $EA ⊥ AB$ ，垂足为点 $A$ ， $CD / / AB$ ， $CD = 10 cm$ ， $DE = 120 cm$ ， $FG ⊥ DE$ ，垂足为点 $G$ ．

（1）若 $∠ θ = 37 ° 50'$ ，则 $AB$ 的长约为　　 $cm$ ；

（参考数据： $\sin 37 ° 50' \approx 0.61$ ， $\cos 37 ° 50' \approx 0.79$ ， $\tan 37 ° 50' \approx 0.78)$

（2）若 $FG = 30 cm$ ， $∠ θ = 60 °$ ，求 $CF$ 的长．

央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣．某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次共调查了　　名学生；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为　　度；

（4）若该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．

某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米超产 $5 %$ ，小麦超产 $15 %$ ，该农场去年实际生产玉米、小麦各多少吨？

如图，四边形 $ABCD$ 是平行四边形， $AD = AC$ ， $AD ⊥ AC$ ， $E$ 是 $AB$ 的中点， $F$ 是 $AC$ 延长线上一点．

（1）若 $ED ⊥ EF$ ，求证： $ED = EF$ ；

（2）在（1）的条件下，若 $DC$ 的延长线与 $FB$ 交于点 $P$ ，试判定四边形 $ACPE$ 是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；

（3）若 $ED = EF$ ， $ED$ 与 $EF$ 垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由．