如图，直线y−3x3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y-优题课

如图，直线 $y = - 3 x + 3$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 与直线 $y = c$ 分别交 $y$ 轴的正半轴于点 $C$ 和第一象限的点 $P$ ，连接 $PB$ ，得 $ΔPCB ≅ ΔBOA (O$ 为坐标原点）．若抛物线与 $x$ 轴正半轴交点为点 $F$ ，设 $M$ 是点 $C$ ， $F$ 间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为 $m$ ．

（1）直接写出点 $P$ 的坐标和抛物线的解析式；

（2）当 $m$ 为何值时， $ΔMAB$ 面积 $S$ 取得最小值和最大值？请说明理由；

（3）求满足 $∠ MPO = ∠ POA$ 的点 $M$ 的坐标．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，点 $E ， F$ 分别在 $A B ， A D$ 上， $A E ＝ A F$ ．求证： $C E ＝ C F$ ．

为了解某初级中学落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，调查组从该校全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间 $t$ （单位： $h$ ），并对数据进行整理、描述和分析．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．

平均每周劳动时间频数统计表

平均每周劳动时间 $t / h$	频数	频率
$1 \leq t ＜ 2$	$3$
$2 \leq t ＜ 3$	$a$	$0.12$
$3 \leq t ＜ 4$	$37$	$b$
$4 \leq t ＜ 5$		$0.35$
$5 \leq t ＜ 6$
合计	$c$

根据以上信息，回答下列问题：

（1）填空： $a ＝$ ＿＿＿＿＿， $b =$ ＿＿＿＿＿， $c ＝$ ＿＿＿＿＿；

（2）若该校有 $1000$ 名学生，请估计平均每周劳动时间在 $3 \leq t ＜ 5$ 范围内的学生人数．

计算： $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 x + 4} \div \frac{x^{2} + 2 x}{2 x - 4} - \frac{1}{x}$ ．

如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B ＝ 15 ， B C ＝ 9$ ， $E$ 是 $C D$ 边上一点（不与点 $C$ 重合），作 $A F ⊥ B E$ 于 $F$ ， $C G ⊥ B E$ 于 $G$ ，延长 $C G$ 至点 $C'$ ，使 $C' G ＝ C G$ ，连接 $C F ， A C'$ ．

（1）直接写出图中与 $△ A F B$ 相似的一个三角形；

（2）若四边形 $A F C C'$ 是平行四边形，求 $C E$ 的长；

（3）当 $C E$ 的长为多少时，以 $C' ， F ， B$ 为顶点的三角形是以 $C' F$ 为腰的等腰三角形？

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $E ： y ＝ ﹣ （ x ﹣ m ）^{2} + 2 m^{2} （ m ＜ 0 ）$ 的顶点 $P$ 在抛物线 $F ： y ＝ a x^{2}$ 上，直线 $x ＝ t$ 与抛物线 $E ， F$ 分别交于点 $A ， B$ ．

（1）求 $a$ 的值；

（2）将 $A ， B$ 的纵坐标分别记为 $y_{A} ， y_{B}$ ，设 $s ＝ y_{A} ﹣ y_{B}$ ，若 $s$ 的最大值为 $4$ ，则 $m$ 的值是多少？

（3） $Q$ 是 $x$ 轴的正半轴上一点，且 $P Q$ 的中点 $M$ 恰好在抛物线 $F$ 上．试探究：此时无论 $m$ 为何负值，在 $y$ 轴的负半轴上是否存在定点 $G$ ，使 $∠ P Q G$ 总为直角？若存在，请求出点 $G$ 的坐标；若不存在，请说明理由．