如图，在平面直角坐标系中，RtΔABC的三个顶点分别是A(−-优题课

如图，在平面直角坐标系中， $Rt Δ ABC$ 的三个顶点分别是 $A (- 8, 3)$ ， $B (- 4, 0)$ ， $C (- 4, 3)$ ， $∠ ABC = α °$ ．抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 经过点 $C$ ，且对称轴为 $x = - \frac{4}{5}$ ，并与 $y$ 轴交于点 $G$ ．

（1）求抛物线的解析式及点 $G$ 的坐标；

（2）将 $Rt Δ ABC$ 沿 $x$ 轴向右平移 $m$ 个单位，使 $B$ 点移到点 $E$ ，然后将三角形绕点 $E$ 顺时针旋转 $α °$ 得到 $ΔDEF$ ．若点 $F$ 恰好落在抛物线上．

①求 $m$ 的值；

②连接 $CG$ 交 $x$ 轴于点 $H$ ，连接 $FG$ ，过 $B$ 作 $BP / / FG$ ，交 $CG$ 于点 $P$ ，求证： $PH = GH$ ．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

如图，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ，已知 $OA = OC$ ， $OB = OD$ ，过点 $O$ 作 $EF ⊥ BD$ ，分别交 $AB$ 、 $DC$ 于点 $E$ ， $F$ ，连接 $DE$ ， $BF$ ．

（1）求证：四边形 $DEBF$ 是菱形：

（2）设 $AD / / EF$ ， $AD + AB = 12$ ， $BD = 4 \sqrt{3}$ ，求 $AF$ 的长．

某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有 $A$ ， $B$ 两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100吨，每焚烧一吨垃圾， $A$ 焚烧炉比 $B$ 焚烧炉多发电50度， $A$ ， $B$ 焚烧炉每天共发电55000度．

（1）求焚烧一吨垃圾， $A$ 焚烧炉和 $B$ 焚烧炉各发电多少度？

（2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾， $A$ 焚烧炉和 $B$ 焚烧炉的发电量分别增加 $a %$ 和 $2 a %$ ，则 $A$ ， $B$ 焚烧炉每天共发电至少增加 $(5 + a) %$ ，求 $a$ 的最小值．

如图， $⊙ O$ 与等边 $ΔABC$ 的边 $AC$ ， $AB$ 分别交于点 $D$ ， $E$ ， $AE$ 是直径，过点 $D$ 作 $DF ⊥ BC$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）连接 $EF$ ，当 $EF$ 是 $⊙ O$ 的切线时，求 $⊙ O$ 的半径 $r$ 与等边 $ΔABC$ 的边长 $a$ 之间的数量关系．

2021年是中国共产党建党100周年华诞．“五一”后某校组织了八年级学生参加建党100周年知识竞赛，为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图：

请根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程）；

（2）该校八年级有学生650人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？

（3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派2人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率．

如图，在 $ΔABC$ 中， $D$ 在 $AC$ 上， $DE / / BC$ ， $DF / / AB$ ．

（1）求证： $ΔDFC ∽ ΔAED$ ；

（2）若 $CD = \frac{1}{3} AC$ ，求 $\frac{S_{ΔDFC}}{S_{ΔAED}}$ 的值．

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