如图1，抛物线yax2bx74，经过A(1,0)、B(7,0-优题课

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题文

如图1，抛物线 $y = a x^{2} + bx + \frac{7}{4}$ ，经过 $A (1, 0)$ 、 $B (7, 0)$ 两点，交 $y$ 轴于 $D$ 点，以 $AB$ 为边在 $x$ 轴上方作等边 $ΔABC$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $x$ 轴上方的抛物线上是否存在点 $M$ ，是 $S_{ΔABM} = \frac{4 \sqrt{3}}{9} S_{ΔABC}$ ？若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2， $E$ 是线段 $AC$ 上的动点， $F$ 是线段 $BC$ 上的动点， $AF$ 与 $BE$ 相交于点 $P$ ．

①若 $CE = BF$ ，试猜想 $AF$ 与 $BE$ 的数量关系及 $∠ APB$ 的度数，并说明理由；

②若 $AF = BE$ ，当点 $E$ 由 $A$ 运动到 $C$ 时，请直接写出点 $P$ 经过的路径长（不需要写过程）．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

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（1）解不等式组；
（2）先化简，再求值：，其中a是方程x²+x=6的一个根．

（1）计算：-3²+（1-π）⁰+（-）^-2；
（2）因式分解：3x²y-18xy²+27y³．

如图，点A（-2，5）和点B（-5，a）在反比例函数y=的图象上，直线y=x+b分别交x轴的正半轴于点D，交y轴的负半轴于点C，且AB=CD．二次函数的图象经过A、C、D三点．

（1）求a、k的值及直线AB的函数表达式；
（2）求点C、D的坐标及二次函数的表达式；
（3）如果点E在第四象限的二次函数图象上，且∠OCE=∠BDC，求点E的坐标．

如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=12．动点E从点B出发，沿线段BC（不包括端点B、C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动；动点F从点C出发，沿线段CD（不包括端点C、D）以每秒1个单位长度的速度，匀速向点D运动；点E、F同时出发，同时停止．连接AF并延长交BC的延长线于点M，再把AM沿AD翻折交CD延长线于点N，连接MN．设运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，△ABE∽△ECF；
（2）在点E运动的过程中是否存在某个时刻使AE⊥AN？若存在请求出t的值，若不存在请说明理由；
（3）在运动的过程中，△AMN的面积是否变化？如果改变，求出变化的范围；如果不变，求出它的值．

在奉贤创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度y（米）与施工时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：

（1）求乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
（2）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为多少米？

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