贵州省是我国首个大数据综合试验区，大数据在推动经济发展、改善-优题课

贵州省是我国首个大数据综合试验区，大数据在推动经济发展、改善公共服务等方面日益显示出巨大的价值．为创建大数据应用示范城市，我市某机构针对市民最关心的四类生活信息进行了民意调查（被调查者每人限选一项），下面是部分四类生活信息关注度统计图表，请根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次参与调查的人数有　　人；

（2）关注城市医疗信息的有　　人，并补全条形统计图；

（3）扇形统计图中， $D$ 部分的圆心角是　　度；

（4）说一条你从统计图中获取的信息．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：扇形统计图条形统计图

某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面 $BC$ 的坡度为 $1 : 1$ ，文化墙 $PM$ 在天桥底部正前方8米处 $(PB$ 的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 $1 : \sqrt{3}$ ．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$

（1）若新坡面坡角为 $α$ ，求坡角 $α$ 度数；

（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙 $PM$ 是否需要拆除？请说明理由．

如图，一次函数 $y = kx + b$ 与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象交于 $A (m, 4)$ 、 $B (2, n)$ 两点，与坐标轴分别交于 $M$ 、 $N$ 两点．

（1）求一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出 $kx + b - \frac{4}{x} > 0$ 中 $x$ 的取值范围；

（3）求 $ΔAOB$ 的面积．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 4$ 交 $x$ 轴于 $A (- 3, 0)$ ， $B (4, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ．点 $P$ 是第一象限内抛物线上的一个动点，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）过点 $P$ 作 $PM ⊥ x$ 轴，垂足为点 $M$ ， $PM$ 交 $BC$ 于点 $Q$ ．试探究点 $P$ 在运动过程中，是否存在这样的点 $Q$ ，使得以 $A$ ， $C$ ， $Q$ 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 $Q$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过点 $P$ 作 $PN ⊥ BC$ ，垂足为点 $N$ ．请用含 $m$ 的代数式表示线段 $PN$ 的长，并求出当 $m$ 为何值时 $PN$ 有最大值，最大值是多少？

阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

例题：如图①，在等边 $ΔABC$ 中， $M$ 是 $BC$ 边上一点（不含端点 $B$ ， $C)$ ， $N$ 是 $ΔABC$ 的外角 $∠ ACH$ 的平分线上一点，且 $AM = MN$ ．求证： $∠ AMN = 60 °$ ．

点拨：如图②，作 $∠ CBE = 60 °$ ， $BE$ 与 $NC$ 的延长线相交于点 $E$ ，得等边 $ΔBEC$ ，连接 $EM$ ．易证： $ΔABM ≅ ΔEBM (SAS)$ ，可得 $AM = EM$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ；又 $AM = MN$ ，则 $EM = MN$ ，可得 $∠ 3 = ∠ 4$ ；由 $∠ 3 + ∠ 1 = ∠ 4 + ∠ 5 = 60 °$ ，进一步可得 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 5$ ，又因为 $∠ 2 + ∠ 6 = 120 °$ ，所以 $∠ 5 + ∠ 6 = 120 °$ ，即： $∠ AMN = 60 °$ ．

问题：如图③，在正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M_{1}$ 是 $B_{1} C_{1}$ 边上一点（不含端点 $B_{1}$ ， $C_{1})$ ， $N_{1}$ 是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外角 $∠ D_{1} C_{1} H_{1}$ 的平分线上一点，且 $A_{1} M_{1} = M_{1} N_{1}$ ．求证： $∠ A_{1} M_{1} N_{1} = 90 °$ ．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 120 °$ ，点 $D$ 在 $BC$ 边上， $⊙ D$ 经过点 $A$ 和点 $B$ 且与 $BC$ 边相交于点 $E$ ．

（1）求证： $AC$ 是 $⊙ D$ 的切线；

（2）若 $CE = 2 \sqrt{3}$ ，求 $⊙ D$ 的半径．