边长为22的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点-优题课

边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正方形 $ABCD$ 中， $P$ 是对角线 $AC$ 上的一个动点（点 $P$ 与 $A$ 、 $C$ 不重合），连接 $BP$ ，将 $BP$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 到 $BQ$ ，连接 $QP$ ， $QP$ 与 $BC$ 交于点 $E$ ， $QP$ 延长线与 $AD$ （或 $AD$ 延长线）交于点 $F$ ．

（1）连接 $CQ$ ，证明： $CQ = AP$ ；

（2）设 $AP = x$ ， $CE = y$ ，试写出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式，并求当 $x$ 为何值时， $CE = \frac{3}{8} BC$ ；

（3）猜想 $PF$ 与 $EQ$ 的数量关系，并证明你的结论．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似三角形的判定与性质全等三角形的判定与性质二次函数的应用四边形综合题

解不等式组 $\{\begin{matrix} 3 x - 2 < x, ① \\ \frac{1}{3} x < - 2, ② \end{matrix}$ ．

计算： $\sqrt{8} + | \sqrt{2} - 1 |$ ．

如图，已知 $AC$ ， $BD$ 为 $⊙ O$ 的两条直径，连接 $AB$ ， $BC$ ， $OE ⊥ AB$ 于点 $E$ ，点 $F$ 是半径 $OC$ 的中点，连接 $EF$ ．

（1）设 $⊙ O$ 的半径为1，若 $∠ BAC = 30 °$ ，求线段 $EF$ 的长．

（2）连接 $BF$ ， $DF$ ，设 $OB$ 与 $EF$ 交于点 $P$ ，

①求证： $PE = PF$ ．

②若 $DF = EF$ ，求 $∠ BAC$ 的度数．

在平面直角坐标系中，设二次函数 $y_{1} = x^{2} + bx + a$ ， $y_{2} = a x^{2} + bx + 1 (a$ ， $b$ 是实数， $a \neq 0)$ ．

（1）若函数 $y_{1}$ 的对称轴为直线 $x = 3$ ，且函数 $y_{1}$ 的图象经过点 $(a, b)$ ，求函数 $y_{1}$ 的表达式．

（2）若函数 $y_{1}$ 的图象经过点 $(r, 0)$ ，其中 $r \neq 0$ ，求证：函数 $y_{2}$ 的图象经过点 $(\frac{1}{r}$ ， $0)$ ．

（3）设函数 $y_{1}$ 和函数 $y_{2}$ 的最小值分别为 $m$ 和 $n$ ，若 $m + n = 0$ ，求 $m$ ， $n$ 的值．

如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在 $BC$ 边上，连接 $AE$ ， $∠ DAE$ 的平分线 $AG$ 与 $CD$ 边交于点 $G$ ，与 $BC$ 的延长线交于点 $F$ ．设 $\frac{CE}{EB} = λ (λ > 0)$ ．

（1）若 $AB = 2$ ， $λ = 1$ ，求线段 $CF$ 的长．

（2）连接 $EG$ ，若 $EG ⊥ AF$ ，

①求证：点 $G$ 为 $CD$ 边的中点．

②求 $λ$ 的值．

试卷网试题网古诗词网作文网范文网