低碳环保，绿色出行的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢-优题课

“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米 $/$ 分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以 $m$ 米 $/$ 分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程 $y$ （米 $)$ 与时间 $x$ （分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题：

（1） $a =$ 　　， $b =$ 　　， $m =$ 　　；

（2）若小军的速度是120米 $/$ 分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；

（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？

（4）若小军的行驶速度是 $v$ 米 $/$ 分，且在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地），请直接写出 $v$ 的取值范围．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一次函数的应用

如图1，平面直角坐标系 $xOy$ 中，等腰 $ΔABC$ 的底边 $BC$ 在 $x$ 轴上， $BC = 8$ ，顶点 $A$ 在 $y$ 的正半轴上， $OA = 2$ ，一动点 $E$ 从 $(3, 0)$ 出发，以每秒1个单位的速度沿 $CB$ 向左运动，到达 $OB$ 的中点停止．另一动点 $F$ 从点 $C$ 出发，以相同的速度沿 $CB$ 向左运动，到达点 $O$ 停止．已知点 $E$ 、 $F$ 同时出发，以 $EF$ 为边作正方形 $EFGH$ ，使正方形 $EFGH$ 和 $ΔABC$ 在 $BC$ 的同侧，设运动的时间为 $t$ 秒 $(t ⩾ 0)$ ．

（1）当点 $H$ 落在 $AC$ 边上时，求 $t$ 的值；

（2）设正方形 $EFGH$ 与 $ΔABC$ 重叠面积为 $S$ ，请问是否存在 $t$ 值，使得 $S = \frac{91}{36}$ ？若存在，求出 $t$ 值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，取 $AC$ 的中点 $D$ ，连结 $OD$ ，当点 $E$ 、 $F$ 开始运动时，点 $M$ 从点 $O$ 出发，以每秒 $2 \sqrt{5}$ 个单位的速度沿 $OD - DC - CD - DO$ 运动，到达点 $O$ 停止运动．请问在点 $E$ 的整个运动过程中，点 $M$ 可能在正方形 $EFGH$ 内（含边界）吗？如果可能，求出点 $M$ 在正方形 $EFGH$ 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，关于 $x$ 的二次函数 $y = x^{2} + px + q$ 的图象过点 $(- 1, 0)$ ， $(2, 0)$ ．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）求当 $- 2 ⩽ x ⩽ 1$ 时， $y$ 的最大值与最小值的差；

（3）一次函数 $y = (2 - m) x + 2 - m$ 的图象与二次函数 $y = x^{2} + px + q$ 的图象交点的横坐标分别是 $a$ 和 $b$ ，且 $a < 3 < b$ ，求 $m$ 的取值范围．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AD$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，过点 $A$ 和点 $D$ 的圆，圆心 $O$ 在线段 $AB$ 上， $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ．

（1）判断 $BC$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $AD = 8$ ， $AE = 10$ ，求 $BD$ 的长．

小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线 $OB$ 与底板的边缘线 $OA$ 所在水平线的夹角为 $120 °$ 时，感觉最舒适（如图① $)$ ．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点 $B$ 、 $O$ 、 $C$ 在同一直线上， $OA = OB = 24 cm$ ， $BC ⊥ AC$ ， $∠ OAC = 30 °$ ．

（1）求 $OC$ 的长；

（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线 $O B^{'}$ 与水平线的夹角仍保持 $120 °$ ，求点 $B'$ 到 $AC$ 的距离．（结果保留根号）

病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战"疫"中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组： $100 ⩽ x < 500$ ， $500 ⩽ x < 900$ ， $900 ⩽ x < 1300$ ， $1300 ⩽ x < 1700$ ， $1700 ⩽ x < 2100$ ， $2100 ⩽ x < 2500$ ．

根据以上信息回答问题：

（1）补全频数分布直方图．

（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．

据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有"90后"也有"00后"，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关"90后"医务人员的数据：

$C$ 市派出的1614名医护人员中有404人是"90后"；

$H$ 市派出的338名医护人员中有103人是"90后"；

$B$ 市某医院派出的148名医护人员中有83人是"90后"．

（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，"90后"大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）