如图，抛物线yax22xc(a<0)与x轴交于点A和点B（点-优题课

题文

如图，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c (a < 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ （点 $A$ 在原点的左侧，点 $B$ 在原点的右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $OB = OC = 3$ ．

（1）求该抛物线的函数解析式．

（2）如图1，连接 $BC$ ，点 $D$ 是直线 $BC$ 上方抛物线上的点，连接 $OD$ ， $CD$ ． $OD$ 交 $BC$ 于点 $F$ ，当 $S_{ΔCOF} : S_{ΔCDF} = 3 : 2$ 时，求点 $D$ 的坐标．

（3）如图2，点 $E$ 的坐标为 $(0, - \frac{3}{2})$ ，点 $P$ 是抛物线上的点，连接 $EB$ ， $PB$ ， $PE$ 形成的 $ΔPBE$ 中，是否存在点 $P$ ，使 $∠ PBE$ 或 $∠ PEB$ 等于 $2 ∠ OBE$ ？若存在，请直接写出符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

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某校体育社团在校内开展“最喜欢的体育项目（四项选一项）”调查，对九年级学生随机抽样，并将收集的数据绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图解答下列问题：
（1）求本次抽样人数有多少人？
（2）补全条形统计图；
（3）该校九年级共有600名学生，估计九年级最喜欢跳绳项目的学生有多少人？

如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B ＜ B C$ ．

（1）利用尺规作图，在 $B C$ 边上确定点 $E$ ，使点 $E$ 到边 $A B$ ， $A D$ 的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若 $B C = 8, C D = 5,$ 则 $C E$ =．

如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣2，0）、B（4，0），其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上的一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）设P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取值最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，请直接写出P′点的坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．

如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．

（1）求证：AC=CD；
（2）若OC=，求BH的长．

如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过A、C两点．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求反比例函数与一次函数的另一个交点M的坐标；
（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．

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