某商场销售一种小商品，每件进货价为190元，调查发现，当销售-优题课

某商场销售一种小商品，每件进货价为190元，调查发现，当销售价为210元时，平均每天能销售8件；当销售价每降低2元时，平均每天就能多销售4件，设每件小商品降价 $x$ 元，平均每天销售 $y$ 件．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）商场要想使这种小商品平均每天的销售利润达到280元，求每件小商品的销售价应定为多少元？

（3）设每天的销售总利润为 $w$ 元，求 $w$ 与 $x$ 之间的函数关系式；每件小商品降价多少元时，每天的总利润最大？最大利润是多少？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数的应用

先化简，再求值： $\frac{2}{x^{2} - 1} \div \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}$ ，从1，2，3这三个数中选择一个你认为适合的 $x$ 代入求值．

如图，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 与 $x$ ， $y$ 轴分别交于点 $B$ ， $A$ ，顶点为 $P$ 的抛物线 $y = a x^{2} - 2 ax + c$ 过点 $A$ ．

（1）求出点 $A$ ， $B$ 的坐标及 $c$ 的值；

（2）若函数 $y = a x^{2} - 2 ax + c$ 在 $3 ⩽ x ⩽ 4$ 时有最大值为 $a + 2$ ，求 $a$ 的值；

（3）连接 $AP$ ，过点 $A$ 作 $AP$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $M$ ．设 $ΔBMP$ 的面积为 $S$ ．

①直接写出 $S$ 关于 $a$ 的函数关系式及 $a$ 的取值范围；

②结合 $S$ 与 $a$ 的函数图象，直接写出 $S > \frac{1}{8}$ 时 $a$ 的取值范围．

在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $\frac{AC}{BC} = m$ ， $D$ 是边 $BC$ 上一点，将 $ΔABD$ 沿 $AD$ 折叠得到 $ΔAED$ ，连接 $BE$ ．

（1）特例发现

如图1，当 $m = 1$ ， $AE$ 落在直线 $AC$ 上时．

①求证： $∠ DAC = ∠ EBC$ ；

②填空： $\frac{CD}{CE}$ 的值为　　；

（2）类比探究

如图2，当 $m \neq 1$ ， $AE$ 与边 $BC$ 相交时，在 $AD$ 上取一点 $G$ ，使 $∠ ACG = ∠ BCE$ ， $CG$ 交 $AE$ 于点 $H$ ．探究 $\frac{CG}{CE}$ 的值（用含 $m$ 的式子表示），并写出探究过程；

（3）拓展运用

在（2）的条件下，当 $m = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $D$ 是 $BC$ 的中点时，若 $EB \cdot EH = 6$ ，求 $CG$ 的长．

为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示：

已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元．

（1）求 $a$ ， $b$ 的值；

（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼 $x$ 斤（销售过程中损耗不计）．

①分别求出每天销售鲢鱼获利 $y_{1}$ （元 $)$ ，销售草鱼获利 $y_{2}$ （元 $)$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低 $m$ 元，草鱼售价全部定为7元 $/$ 斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利 $W$ （元 $)$ 最小值不少于320元，求 $m$ 的最大值．

如图，直线 $AB$ 经过 $⊙ O$ 上的点 $C$ ，直线 $BO$ 与 $⊙ O$ 交于点 $F$ 和点 $D$ ， $OA$ 与 $⊙ O$ 交于点 $E$ ，与 $DC$ 交于点 $G$ ， $OA = OB$ ， $CA = CB$ ．

（1）求证： $AB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $FC / / OA$ ， $CD = 6$ ，求图中阴影部分面积．