如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{CD}$与 $\mathit{AB}$交于点 $E$，连接 $\mathit{AD}$，过点 $A$作直线 $\mathit{MN}$，使 $\angle \mathit{MAC}=\angle \mathit{ADC}$．

（1）求证：直线 $\mathit{MN}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\sin \angle \mathit{ADC}=\frac{1}{2}$， $\mathit{AB}=8$， $\mathit{AE}=3$，求 $\mathit{DE}$的长．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 圆周角定理 解直角三角形 相似三角形的判定与性质 切线的判定与性质