已知：在 $\mathit{\Delta ABC}$外分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$为边作 $\mathit{\Delta AEB}$与 $\mathit{\Delta AFC}$．

（1）如图1， $\mathit{\Delta AEB}$与 $\mathit{\Delta AFC}$分别是以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$为斜边的等腰直角三角形，连接 $\mathit{EF}$．以 $\mathit{EF}$为直角边构造 $\text{Rt}\Delta \text{EFG}$，且 $\mathit{EF}=\mathit{FG}$，连接 $\mathit{BG}$， $\mathit{CG}$， $\mathit{EC}$．

求证：① $\mathit{\Delta AEF}\cong \mathit{\Delta CGF}$．

②四边形 $\mathit{BGCE}$是平行四边形．

（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：

如图2，在 $\mathit{\Delta ABC}$外分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$为斜边作 $\text{Rt}\Delta \text{AEB}$与 $\text{Rt}\Delta \text{AFC}$，并使 $\angle \mathit{FAC}=\angle \mathit{EAB}=30°$，取 $\mathit{BC}$的中点 $D$，连接 $\mathit{DE}$， $\mathit{EF}$后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出 $\frac{\mathit{ED}}{\mathit{EF}}$的值及 $\angle \mathit{DEF}$的度数．

（3）小颖受到启发也做了探究：

如图3，在 $\mathit{\Delta ABC}$外分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$为底边作等腰三角形 $\mathit{AEB}$和等腰三角形 $\mathit{AFC}$，并使 $\angle \mathit{CAF}+\angle \mathit{EAB}=90°$，取 $\mathit{BC}$的中点 $D$，连接 $\mathit{DE}$， $\mathit{EF}$后发现，当给定 $\angle \mathit{EAB}=\alpha$时，两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若 $\mathit{AE}=m$， $\mathit{AB}=n$，请你帮助小颖用含 $m$， $n$的代数式直接写出 $\frac{\mathit{ED}}{\mathit{EF}}$的值，并用含 $\alpha$的代数式直接表示 $\angle \mathit{DEF}$的度数．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 平行四边形的判定 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 三角形综合题