已知：在ΔABC外分别以AB，AC为边作ΔAEB与ΔAFC．-优题课

已知：在 $ΔABC$ 外分别以 $AB$ ， $AC$ 为边作 $ΔAEB$ 与 $ΔAFC$ ．

（1）如图1， $ΔAEB$ 与 $ΔAFC$ 分别是以 $AB$ ， $AC$ 为斜边的等腰直角三角形，连接 $EF$ ．以 $EF$ 为直角边构造 $Rt Δ EFG$ ，且 $EF = FG$ ，连接 $BG$ ， $CG$ ， $EC$ ．

求证：① $ΔAEF ≅ ΔCGF$ ．

②四边形 $BGCE$ 是平行四边形．

（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：

如图2，在 $ΔABC$ 外分别以 $AB$ ， $AC$ 为斜边作 $Rt Δ AEB$ 与 $Rt Δ AFC$ ，并使 $∠ FAC = ∠ EAB = 30 °$ ，取 $BC$ 的中点 $D$ ，连接 $DE$ ， $EF$ 后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出 $\frac{ED}{EF}$ 的值及 $∠ DEF$ 的度数．

（3）小颖受到启发也做了探究：

如图3，在 $ΔABC$ 外分别以 $AB$ ， $AC$ 为底边作等腰三角形 $AEB$ 和等腰三角形 $AFC$ ，并使 $∠ CAF + ∠ EAB = 90 °$ ，取 $BC$ 的中点 $D$ ，连接 $DE$ ， $EF$ 后发现，当给定 $∠ EAB = α$ 时，两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若 $AE = m$ ， $AB = n$ ，请你帮助小颖用含 $m$ ， $n$ 的代数式直接写出 $\frac{ED}{EF}$ 的值，并用含 $α$ 的代数式直接表示 $∠ DEF$ 的度数．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：平行四边形的判定相似三角形的判定与性质全等三角形的判定与性质三角形综合题