某校为更好地开展传统文化进校园活动，随机抽查了部分学生，了解-优题课

题文

某校为更好地开展“传统文化进校园”活动，随机抽查了部分学生，了解他们最喜爱的传统文化项目类型（分为书法、围棋、戏剧、国画共4类），并将统计结果绘制成如图不完整的频数分布表及频数分布条形图．

最喜爱的传统文化项目类型频数分布表

项目类型	频数	频率
书法类	18	$a$
围棋类	14	0.28
喜剧类	8	0.16
国画类	$b$	0.20

根据以上信息完成下列问题：

（1）直接写出频数分布表中 $a$ 的值；

（2）补全频数分布条形图；

（3）若全校共有学生1500名，估计该校最喜爱围棋的学生大约有多少人？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：用样本估计总体频数（率）分布直方图统计表

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已知：在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 在 $x$ 轴的负半轴上，直线 $y = - \sqrt{3} x + \frac{7}{2} \sqrt{3}$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $B$ 、 $C$ 两点，四边形 $ABCD$ 为菱形．

（1）如图1，求点 $A$ 的坐标；

（2）如图2，连接 $AC$ ，点 $P$ 为 $ΔACD$ 内一点，连接 $AP$ 、 $BP$ ， $BP$ 与 $AC$ 交于点 $G$ ，且 $∠ APB = 60 °$ ，点 $E$ 在线段 $AP$ 上，点 $F$ 在线段 $BP$ 上，且 $BF = AE$ ，连接 $AF$ 、 $EF$ ，若 $∠ AFE = 30 °$ ，求 $A F^{2} + E F^{2}$ 的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，当 $PE = AE$ 时，求点 $P$ 的坐标．

已知： $⊙ O$ 是正方形 $ABCD$ 的外接圆，点 $E$ 在 $\hat{AB}$ 上，连接 $BE$ 、 $DE$ ，点 $F$ 在 $\hat{AD}$ 上连接 $BF$ 、 $DF$ ， $BF$ 与 $DE$ 、 $DA$ 分别交于点 $G$ 、点 $H$ ，且 $DA$ 平分 $∠ EDF$ ．

（1）如图1，求证： $∠ CBE = ∠ DHG$ ；

（2）如图2，在线段 $AH$ 上取一点 $N$ （点 $N$ 不与点 $A$ 、点 $H$ 重合），连接 $BN$ 交 $DE$ 于点 $L$ ，过点 $H$ 作 $HK / / BN$ 交 $DE$ 于点 $K$ ，过点 $E$ 作 $EP ⊥ BN$ ，垂足为点 $P$ ，当 $BP = HF$ 时，求证： $BE = HK$ ；

（3）如图3，在（2）的条件下，当 $3 HF = 2 DF$ 时，延长 $EP$ 交 $⊙ O$ 于点 $R$ ，连接 $BR$ ，若 $ΔBER$ 的面积与 $ΔDHK$ 的面积的差为 $\frac{7}{4}$ ，求线段 $BR$ 的长．

春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买 $A$ 型、 $B$ 型两种型号的放大镜．若购买8个 $A$ 型放大镜和5个 $B$ 型放大镜需用220元；若购买4个 $A$ 型放大镜和6个 $B$ 型放大镜需用152元．

（1）求每个 $A$ 型放大镜和每个 $B$ 型放大镜各多少元；

（2）春平中学决定购买 $A$ 型放大镜和 $B$ 型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个 $A$ 型放大镜？

已知：在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 、 $BD$ 相交于点 $E$ ，且 $AC ⊥ BD$ ，作 $BF ⊥ CD$ ，垂足为点 $F$ ， $BF$ 与 $AC$ 交于点 $G$ ， $∠ BGE = ∠ ADE$ ．

（1）如图1，求证： $AD = CD$ ；

（2）如图2， $BH$ 是 $ΔABE$ 的中线，若 $AE = 2 DE$ ， $DE = EG$ ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于 $ΔADE$ 面积的2倍．

为使中华传统文化教育更具有实效性，军宁中学开展以“我最喜爱的传统文化种类”为主题的调查活动，围绕“在诗词、国画、对联、书法、戏曲五种传统文化中，你最喜爱哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）本次调查共抽取了多少名学生？

（2）通过计算补全条形统计图；

（3）若军宁中学共有960名学生，请你估计该中学最喜爱国画的学生有多少名？

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