如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，点 $B(3,0)$，经过点 $A$的直线 $\mathit{AC}$与抛物线的另一交点为 $C(4,\frac{5}{2})$，与 $y$轴交点为 $D$，点 $P$是直线 $\mathit{AC}$下方的抛物线上的一个动点（不与点 $A$， $C$重合）．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp \mathit{AC}$，垂足为点 $E$，作 $\mathit{PF}//y$轴交直线 $\mathit{AC}$于点 $F$，设点 $P$的横坐标为 $t$，线段 $\mathit{EF}$的长度为 $m$，求 $m$与 $t$的函数关系式．

（3）点 $Q$在抛物线的对称轴上运动，当 $\mathit{\Delta OPQ}$是以 $\mathit{OP}$为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点 $P$的坐标．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 二次函数综合题