如图，在平面直角坐标系中，二次函数y13x2bxc的图象经过-优题课

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = \frac{1}{3} x^{2} + bx + c$ 的图象经过平行四边形 $ABCD$ 的顶点 $B$ ， $D (5, 2) DE ⊥ x$ 轴，垂足为点 $E$ ．点 $A$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $B$ 在 $x$ 轴负半轴上，点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上，且 $\tan ∠ BAO = \frac{1}{2}$ ．

（1）求二次函数的表达式，并判断点 $C$ 是否在该函数图象上；

（2）点 $F$ 是线段 $AD$ 上一点，在线段 $AD$ 下方作 $∠ HFK = 90 °$ ．

①当点 $F$ 运动时，使 $∠ HFK$ 的一边 $FH$ 始终过点 $O$ ，另一边 $FK$ 交射线 $DE$ 于点 $N$ ，（不含点 $D$ 与 $N$ 重合的情形）设 $AF = n$ ， $DN = m$ ，求 $m$ 关于 $n$ 的函数关系式，并求出 $m$ 的取值范围．

②当 $AF = 1$ 时，将 $∠ HFK$ 绕点 $F$ 旋转，一条边 $FH$ 交线段 $OA$ 于点 $P$ ，另一条边 $FK$ 交线段 $OE$ 于点 $Q$ ，连接 $PQ$ ，以 $PQ$ 为直径作 $⊙ M$ ，设圆心 $M$ 的坐标为 $(x, y)$ ，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并直接写出点 $P$ 从点 $O$ 运动到点 $A$ 时圆心 $M$ 运动的路径长．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题