如图1，已知抛物线y1a(x−2)(xa)(a<0)与x轴从-优题课

题文

如图1，已知抛物线 $y = \frac{1}{a} (x - 2) (x + a) (a > 0)$ 与 $x$ 轴从左至右交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）若抛物线过点 $T (1, - \frac{5}{4})$ ，求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点 $D$ ，使得以 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 三点为顶点的三角形与 $ΔABC$ 相似？若存在，求 $a$ 的值；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，在（1）的条件下，点 $P$ 的坐标为 $(- 1, 1)$ ，点 $Q (6, t)$ 是抛物线上的点，在 $x$ 轴上，从左至右有 $M$ 、 $N$ 两点，且 $MN = 2$ ，问 $MN$ 在 $x$ 轴上移动到何处时，四边形 $PQNM$ 的周长最小？请直接写出符合条件的点 $M$ 的坐标．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

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已知实数a，b是方程的两根，求的值．

如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点．以OM为直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连结DE交OM于点K．

（1）若点M的坐标为（3，4），
①求A，B两点的坐标；
②求ME的长．
（2）若，求∠OBA的度数．
（3）设tan∠OBA=x（0＜x＜1），，直接写出y关于x的函数解析式．

如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．

（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．
（2）如图1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．
（3）如图3，C是函数（）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．

在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为，其中m，n为常数．

（1）在下面的方格中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形（非菱形）、菱形；
（2）利用（1）中的格点多边形确定m，n的值．

已知抛物线，其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．

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