如图，ΔABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D-优题课

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $CD$ 平分 $∠ ACB$ 交 $⊙ O$ 于 $D$ ，过点 $D$ 作 $PQ / / AB$ 分别交 $CA$ 、 $CB$ 延长线于 $P$ 、 $Q$ ，连接 $BD$ ．

（1）求证： $PQ$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $B D^{2} = AC \cdot BQ$ ；

（3）若 $AC$ 、 $BQ$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x + \frac{4}{x} = m$ 的两实根，且 $\tan ∠ PCD = \frac{1}{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆周角定理相似三角形的判定与性质切线的判定

如图1，在平面直角坐标系中，点 $B$ 在 $x$ 轴正半轴上， $OB$ 的长度为 $2 m$ ，以 $OB$ 为边向上作等边三角形 $AOB$ ，抛物线 $l : y = a x^{2} + bx + c$ 经过点 $O$ ， $A$ ， $B$ 三点

（1）当 $m = 2$ 时， $a =$ 　　，当 $m = 3$ 时， $a =$ 　　；

（2）根据（1）中的结果，猜想 $a$ 与 $m$ 的关系，并证明你的结论；

（3）如图2，在图1的基础上，作 $x$ 轴的平行线交抛物线 $l$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点， $PQ$ 的长度为 $2 n$ ，当 $ΔAPQ$ 为等腰直角三角形时， $a$ 和 $n$ 的关系式为　　；

（4）利用（2）（3）中的结论，求 $ΔAOB$ 与 $ΔAPQ$ 的面积比．

如图，在等腰直角三角形 $ABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $AC = 8 \sqrt{2} cm$ ， $AD ⊥ BC$ 于点 $D$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A \to C$ 方向以 $\sqrt{2} cm / s$ 的速度运动到点 $C$ 停止，在运动过程中，过点 $P$ 作 $PQ / / AB$ 交 $BC$ 于点 $Q$ ，以线段 $PQ$ 为边作等腰直角三角形 $PQM$ ，且 $∠ PQM = 90 °$ （点 $M$ ， $C$ 位于 $PQ$ 异侧）．设点 $P$ 的运动时间为 $x (s)$ ， $ΔPQM$ 与 $ΔADC$ 重叠部分的面积为 $y (c m^{2})$

（1）当点 $M$ 落在 $AB$ 上时， $x =$ 　　；

（2）当点 $M$ 落在 $AD$ 上时， $x =$ 　　；

（3）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

（1）如图1，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ，以点 $B$ 为中心，把 $ΔABC$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到△ $A_{1} B C_{1}$ ；再以点 $C$ 为中心，把 $ΔABC$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到△ $A_{2} B_{1} C$ ，连接 $C_{1} B_{1}$ ，则 $C_{1} B_{1}$ 与 $BC$ 的位置关系为　　；

（2）如图2，当 $ΔABC$ 是锐角三角形， $∠ ABC = α (α \neq 60 °)$ 时，将 $ΔABC$ 按照（1）中的方式旋转 $α$ ，连接 $C_{1} B_{1}$ ，探究 $C_{1} B_{1}$ 与 $BC$ 的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；

（3）如图3，在图2的基础上，连接 $B_{1} B$ ，若 $C_{1} B_{1} = \frac{2}{3} BC$ ，△ $C_{1} B B_{1}$ 的面积为4，则△ $B_{1} BC$ 的面积为　　．

甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从 $A$ 地出发前往 $B$ 地，甲出发 $1 h$ 后，乙出发，设甲与 $A$ 地相距 $y_{甲} (km)$ ，乙与 $A$ 地相距 $y_{乙} (km)$ ，甲离开 $A$ 地的时间为 $x (h)$ ， $y_{甲}$ 、 $y_{乙}$ 与 $x$ 之间的函数图象如图所示．

（1）甲的速度是　　 $km / h$ ；

（2）当 $1 ⩽ x ⩽ 5$ 时，求 $y_{乙}$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（3）当乙与 $A$ 地相距 $240 km$ 时，甲与 $A$ 地相距　　 $km$ ．

如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上有一点 $A (m, 4)$ ，过点 $A$ 作 $AB ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，将点 $B$ 向右平移2个单位长度得到点 $C$ ，过点 $C$ 作 $y$ 轴的平行线交反比例函数的图象于点 $D$ ， $CD = \frac{4}{3}$

（1）点 $D$ 的横坐标为　　（用含 $m$ 的式子表示）；

（2）求反比例函数的解析式．