如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{CD}$平分 $\angle \mathit{ACB}$交 $\odot O$于 $D$，过点 $D$作 $\mathit{PQ}//\mathit{AB}$分别交 $\mathit{CA}$、 $\mathit{CB}$延长线于 $P$、 $Q$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求证： $\mathit{PQ}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $B{D}^2=\mathit{AC}·\mathit{BQ}$；

（3）若 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BQ}$的长是关于 $x$的方程 $x+\frac{4}{x}=m$的两实根，且 $\tan \angle \mathit{PCD}=\frac{1}{3}$，求 $\odot O$的半径．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 圆周角定理 相似三角形的判定与性质 切线的判定