如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且ABCD．求证-优题课

在推进嘉兴市城乡生活垃圾分类的行动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．其中 $A$ 、 $B$ 两小区分别有500名居民参加了测试，社区从中各随机抽取50名居民成绩进行整理得到部分信息：

[信息一] $A$ 小区50名居民成绩的频数直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值） $:$

[信息二]上图中，从左往右第四组的成绩如下：

75	75	79	79	79	79	80	80
81	82	82	83	83	84	84	84

[信息三] $A$ 、 $B$ 两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率 $(80$ 分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺） $:$

根据以上信息，回答下列问题：

（1）求 $A$ 小区50名居民成绩的中位数．

（2）请估计 $A$ 小区500名居民成绩能超过平均数的人数．

（3）请尽量从多个角度，选择合适的统计量分析 $A$ ， $B$ 两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况．

在 $6 \times 6$ 的方格纸中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在格点上，按要求画图：

（1）在图1中找一个格点 $D$ ，使以点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 为顶点的四边形是平行四边形．

（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段 $AB$ 三等分（保留画图痕迹，不写画法）．

如图，在直角坐标系中，已知点 $B (4, 0)$ ，等边三角形 $OAB$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上．

（1）求反比例函数的表达式．

（2）把 $ΔOAB$ 向右平移 $a$ 个单位长度，对应得到△ $O^{'} A^{'} B^{'}$ 当这个函数图象经过△ $O^{'} A^{'} B^{'}$ 一边的中点时，求 $a$ 的值．

如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $F$ 在对角线 $BD$ ．请添加一个条件，使得结论“ $AE = CF$ ”成立，并加以证明．

小明解答“先化简，再求值： $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = \sqrt{3} + 1$ ．”的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．