如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是AĈ上一点，-优题课

如图1， $AB$ 是半圆 $O$ 的直径， $AC$ 是一条弦， $D$ 是 $\hat{AC}$ 上一点， $DE ⊥ AB$ 于点 $E$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ，连结 $BD$ 交 $AC$ 于点 $G$ ，且 $AF = FG$ ．

（1）求证：点 $D$ 平分 $\hat{AC}$ ；

（2）如图2所示，延长 $BA$ 至点 $H$ ，使 $AH = AO$ ，连结 $DH$ ．若点 $E$ 是线段 $AO$ 的中点．求证： $DH$ 是 $⊙ O$ 的切线．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆周角定理切线的判定等边三角形的判定与性质

在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $D$ 是 $ΔABC$ 内一点，连接 $AD$ ， $BD$ ，在 $BD$ 左侧作 $Rt Δ BDE$ ，使 $∠ BDE = 90 °$ ，以 $AD$ 和 $DE$ 为邻边作 $▱ ADEF$ ，连接 $CD$ ， $DF$ ．

（1）若 $AC = BC$ ， $BD = DE$ ．

①如图1，当 $B$ ， $D$ ， $F$ 三点共线时， $CD$ 与 $DF$ 之间的数量关系为　　．

②如图2，当 $B$ ， $D$ ， $F$ 三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．

（2）若 $BC = 2 AC$ ， $BD = 2 DE$ ， $\frac{CD}{AC} = \frac{4}{5}$ ，且 $E$ ， $C$ ， $F$ 三点共线，求 $\frac{AF}{CE}$ 的值．

某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量 $y$ （件 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间的关系如图所示．

（1）根据图象直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

（2）设这种商品月利润为 $W$ （元 $)$ ，求 $W$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $D$ 是 $AC$ 上一点，过 $B$ ， $C$ ， $D$ 三点的 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，连接 $ED$ ， $EC$ ，点 $F$ 是线段 $AE$ 上的一点，连接 $FD$ ，其中 $∠ FDE = ∠ DCE$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）若 $D$ 是 $AC$ 的中点， $∠ A = 30 °$ ， $BC = 4$ ，求 $DF$ 的长．

如图为某海域示意图，其中灯塔 $D$ 的正东方向有一岛屿 $C$ ．一艘快艇以每小时 $20 nmile$ 的速度向正东方向航行，到达 $A$ 处时测得灯塔 $D$ 在东北方向上，继续航行 $0.3 h$ ，到达 $B$ 处时测得灯塔 $D$ 在北偏东 $30 °$ 方向上，同时测得岛屿 $C$ 恰好在 $B$ 处的东北方向上，此时快艇与岛屿 $C$ 的距离是多少？（结果精确到 $1 nmile$ ．参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{6} \approx 2.45)$

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = mx + n (m \neq 0)$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 在第一象限，纵坐标为4，点 $B$ 在第三象限， $BM ⊥ x$ 轴，垂足为点 $M$ ， $BM = OM = 2$ ．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式．

（2）连接 $OB$ ， $MC$ ，求四边形 $MBOC$ 的面积．

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