如图，在RtΔABC中，∠ACB90°，CD是斜边AB上的中-优题课

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $CD$ 是斜边 $AB$ 上的中线，以 $CD$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $AC$ 、 $BC$ 于点 $M$ 、 $N$ ，过点 $N$ 作 $NE ⊥ AB$ ，垂足为 $E$ ．

（1）若 $⊙ O$ 的半径为 $\frac{5}{2}$ ， $AC = 6$ ，求 $BN$ 的长；

（2）求证： $NE$ 与 $⊙ O$ 相切．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆周角定理解直角三角形切线的判定与性质直角三角形斜边上的中线

如图，点 $M$ 是正方形 $ABCD$ 边 $CD$ 上一点，连接 $AM$ ，作 $DE ⊥ AM$ 于点 $E$ ， $BF ⊥ AM$ 于点 $F$ ，连接 $BE$ ．

（1）求证： $AE = BF$ ；

（2）已知 $AF = 2$ ，四边形 $ABED$ 的面积为24，求 $∠ EBF$ 的正弦值．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 4, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, 4)$ ，线段 $BC$ 的中垂线与对称轴 $l$ 交于点 $D$ ，与 $x$ 轴交于点 $F$ ，与 $BC$ 交于点 $E$ ，对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求点 $D$ 的坐标；

（3）点 $P$ 为 $x$ 轴上一点， $⊙ P$ 与直线 $BC$ 相切于点 $Q$ ，与直线 $DE$ 相切于点 $R$ ．求点 $P$ 的坐标；

（4）点 $M$ 为 $x$ 轴上方抛物线上的点，在对称轴 $l$ 上是否存在一点 $N$ ，使得以点 $D$ ， $P$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出 $N$ 点坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在四边形 $BCDE$ 中， $BC ⊥ CD$ ， $DE ⊥ CD$ ， $AB ⊥ AE$ ，垂足分别为 $C$ ， $D$ ， $A$ ， $BC \neq AC$ ，点 $M$ ， $N$ ， $F$ 分别为 $AB$ ， $AE$ ， $BE$ 的中点，连接 $MN$ ， $MF$ ， $NF$ ．

（1）如图2，当 $BC = 4$ ， $DE = 5$ ， $\tan ∠ FMN = 1$ 时，求 $\frac{AC}{AD}$ 的值；

（2）若 $\tan ∠ FMN = \frac{1}{2}$ ， $BC = 4$ ，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；

（3）连接 $CM$ ， $DN$ ， $CF$ ， $DF$ ．试证明 $ΔFMC$ 与 $ΔDNF$ 全等；

（4）在（3）的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出．

为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元．该产品每月销售量 $y$ （万件）与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间的函数关系如图所示．

（1）求该网店每月利润 $w$ （万元）与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间的函数表达式；

（2）小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？

为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示．

大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表

一周诗词诵背数量	3首	4首	5首	6首	7首	8首
人数	10	10	15	40	25	20

请根据调查的信息分析：

（1）活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为　　；

（2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数；

（3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果．