如图，ΔABC和ΔCDE都是等边三角形，点B、C、E三点在同-优题课

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题文

如图， $ΔABC$ 和 $ΔCDE$ 都是等边三角形，点 $B$ 、 $C$ 、 $E$ 三点在同一直线上，连接 $BD$ ， $AD$ ， $BD$ 交 $AC$ 于点 $F$ ．

（1）若 $A D^{2} = DF \cdot DB$ ，求证： $AD = BF$ ；

（2）若 $∠ BAD = 90 °$ ， $BE = 6$ ．

①求 $\tan ∠ DBE$ 的值；②求 $DF$ 的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形相似三角形的判定与性质全等三角形的判定与性质等边三角形的性质

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将长为20cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘贴起来，粘合部分的宽为2cm．设x张白纸粘合后的纸条总长度为ycm，

（1）求y与x之间的函数关系式，并画出函数图象，
（2）若x=20，求纸条的面积．

如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD，AB上的点，且DE=BF，求证：

（1）CE=AF；
（2）四边形AFCE是平行四边形．

如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．

（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．

如图，直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．

（1）△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；
（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由．

阅读所给的材料，然后解答问题：如图①，在“格点”直角坐标系上我们可以发现：求线段DE的长度，可以转化为求Rt△DEF的斜边长，例如：在坐标系中我们发现：D（-7，5），E（4，-3），所以DF=|5-（-3）|=8，EF=|4-（-7）|=11，所以据勾股定理可得：DE=．

（1）在图①中用上面的方法可求出线段AB的长为；
（2）在图②中：设A（x₁．y₁），B（x₂，y₂），试用x₁，x₂，y₁，y₂表示：AC= ，BC= ，AB= ；
（3）已知A（2，1），B（4，3），试用（2）中得出的结论求线段AB的长；
（4）已知A（2，1），B（4，3），若点C为y轴上的点且使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形，试求出点C的坐标．

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