如图，直线 $l:y=\mathit{kx}+b(k<0)$与函数 $y=\frac{4}{x}(x>0)$的图象相交于 $A$、 $C$两点，与 $x$轴相交于 $T$点，过 $A$、 $C$两点作 $x$轴的垂线，垂足分别为 $B$、 $D$，过 $A$、 $C$两点作 $y$轴的垂线，垂足分别为 $E$、 $F$；直线 $\mathit{AE}$与 $\mathit{CD}$相交于点 $P$，连接 $\mathit{DE}$．设 $A$、 $C$两点的坐标分别为 $(a,\frac{4}{a})$、 $(c,\frac{4}{c})$，其中 $a>c>0$．

（1）如图①，求证： $\angle \mathit{EDP}=\angle \mathit{ACP}$；

（2）如图②，若 $A$、 $D$、 $E$、 $C$四点在同一圆周上，求 $k$的值；

（3）如图③，已知 $c=1$，且点 $P$在直线 $\mathit{BF}$上，试问：在线段 $\mathit{AT}$上是否存在点 $M$，使得 $\mathit{OM}\perp \mathit{AM}$？如存在，请求出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 圆内接四边形的性质 相似三角形的判定与性质 反比例函数综合题 全等三角形的判定与性质