为了解某次小学生书法比赛的成绩情况，随机抽取了30名学生的成-优题课

计算： $| \sqrt{3} - 2 | + \sin 60 ° - \sqrt{27} - {(- 1 \frac{1}{2})}^{2} + 2^{- 2}$

先化简，再求值： $(1 + \frac{x^{2} + 2}{x - 2}) \div \frac{x + 1}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，其中 $x$ 满足 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ ．

解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．

$\{\begin{matrix} 2 x - 7 < 3 (x - 1), ① \\ 5 - \frac{1}{2} (x + 4) ⩾ x \cdot ② \end{matrix}$

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $OADB$ 的顶点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $A (- 6, 0)$ ， $B (0, 4)$ ．过点 $C (- 6, 1)$ 的双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 与矩形 $OADB$ 的边 $BD$ 交于点 $E$ ．

（1）填空： $OA =$ 　　， $k =$ 　　，点 $E$ 的坐标为　　；

（2）当 $1 ⩽ t ⩽ 6$ 时，经过点 $M (t - 1, - \frac{1}{2} t^{2} + 5 t - \frac{3}{2})$ 与点 $N (- t - 3, - \frac{1}{2} t^{2} + 3 t - \frac{7}{2})$ 的直线交 $y$ 轴于点 $F$ ，点 $P$ 是过 $M$ ， $N$ 两点的抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 的顶点．

①当点 $P$ 在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上时，求证：直线 $MN$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 没有公共点；

②当抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 与矩形 $OADB$ 有且只有三个公共点，求 $t$ 的值；

③当点 $F$ 和点 $P$ 随着 $t$ 的变化同时向上运动时，求 $t$ 的取值范围，并求在运动过程中直线 $MN$ 在四边形 $OAEB$ 中扫过的面积．

某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为 $Q$ ，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的 $Q$ 值都以平均值 $n$ 计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使 $Q$ 值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．

（1）求 $n$ 的值；

（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 $m$ ，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求 $m$ 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；

（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 $Q$ 值比上一年都增加一个相同的数值 $a$ ．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 $Q$ 值与当年用甲方案治理降低的 $Q$ 值相等，第三年，用甲方案使 $Q$ 值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的 $Q$ 值及 $a$ 的值．