如图，以AB为直径的⊙O外接于ΔABC，过A点的切线AP与B-优题课

题文

如图，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 外接于 $ΔABC$ ，过 $A$ 点的切线 $AP$ 与 $BC$ 的延长线交于点 $P$ ， $∠ APB$ 的平分线分别交 $AB$ ， $AC$ 于点 $D$ ， $E$ ，其中 $AE$ ， $BD (AE < BD)$ 的长是一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两个实数根．

（1）求证： $PA \cdot BD = PB \cdot AE$ ；

（2）在线段 $BC$ 上是否存在一点 $M$ ，使得四边形 $ADME$ 是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆周角定理解直角三角形菱形的判定相似三角形的判定与性质三角形的外接圆与外心切线的性质

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某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这种包装盒有两种方案可供选择：
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方案2：租赁机器自己加工，所需费用y₂（包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用）与包装盒数x满足如图的函数关系。

根据图象回答下列问题:
（1）方案1中每个包装盒的价格是多少元？
（2）方案2中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？
（3）请分别求出y_1,、y₂与x的函数表达式；
（4）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由。

阅读理解题：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=BC．
求证：∠BAC=90°．

证明：∵AD=BC，BD=CD=BC，
∴AD=BD=DC，
∴ADB和 ADC都是等腰三角形
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∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，即∠BAC=90°．
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