如图1，在平面直角坐标系中，直线MN分别与x轴、y轴交于点M-优题课

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $MN$ 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $M (6, 0)$ ， $N (0$ ， $2 \sqrt{3})$ ，等边 $ΔABC$ 的顶点 $B$ 与原点 $O$ 重合， $BC$ 边落在 $x$ 轴正半轴上，点 $A$ 恰好落在线段 $MN$ 上，将等边 $ΔABC$ 从图1的位置沿 $x$ 轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边 $AB$ ， $AC$ 分别与线段 $MN$ 交于点 $E$ ， $F$ （如图2所示），设 $ΔABC$ 平移的时间为 $t (s)$ ．

（1）等边 $ΔABC$ 的边长为　　；

（2）在运动过程中，当 $t =$ 　　时， $MN$ 垂直平分 $AB$ ；

（3）若在 $ΔABC$ 开始平移的同时．点 $P$ 从 $ΔABC$ 的顶点 $B$ 出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线 $BA - AC$ 运动．当点 $P$ 运动到 $C$ 时即停止运动． $ΔABC$ 也随之停止平移．

①当点 $P$ 在线段 $BA$ 上运动时，若 $ΔPEF$ 与 $ΔMNO$ 相似．求 $t$ 的值；

②当点 $P$ 在线段 $AC$ 上运动时，设 $S_{ΔPEF} = S$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式，并求出 $S$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数的最值解直角三角形二次函数的应用等边三角形的性质