如图，在等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $A$在 $x$轴上，点 $B$在 $y$轴上，点 $C(3,1)$，二次函数 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}-\frac{3}{2}$的图象经过点 $C$．

（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成 $y=a{(x-h)}^2+k$的形式；

（2）把 $\mathit{\Delta ABC}$沿 $x$轴正方向平移，当点 $B$落在抛物线上时，求 $\mathit{\Delta ABC}$扫过区域的面积；

（3）在抛物线上是否存在异于点 $C$的点 $P$，使 $\mathit{\Delta ABP}$是以 $\mathit{AB}$为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点 $P$的坐标；如果不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 二次函数的三种形式 二次函数综合题