如图，矩形ABCD中，AC2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得-优题课

如图，矩形 $ABCD$ 中， $AC = 2 AB$ ，将矩形 $ABCD$ 绕点 $A$ 旋转得到矩形 $AB' C' D'$ ，使点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 落在 $AC$ 上， $B^{'} C^{'}$ 交 $AD$ 于点 $E$ ，在 $B^{'} C'$ 上取点 $F$ ，使 $B^{'} F = AB$ ．

（1）求证： $AE = C' E$ ．

（2）求 $∠ FB B^{'}$ 的度数．

（3）已知 $AB = 2$ ，求 $BF$ 的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：旋转的性质解直角三角形矩形的性质几何变换综合题

随着航母编队的成立，我国海军日益强大．2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到 $A$ 处时，该舰在观测点 $P$ 的南偏东 $45 °$ 的方向上，且与观测点 $P$ 的距离 $PA$ 为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点 $P$ 的北偏东 $30 °$ 方向上的 $B$ 处，问此时巡逻舰与观测点 $P$ 的距离 $PB$ 为多少海里？（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果精确到1海里）．

如图所示，将二次函数 $y = x^{2} + 2 x + 1$ 的图象沿 $x$ 轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象．函数 $y = x^{2} + 2 x + 1$ 的图象的顶点为点 $A$ ．函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象的顶点为点 $B$ ，和 $x$ 轴的交点为点 $C$ ， $D$ （点 $D$ 位于点 $C$ 的左侧）．

（1）求函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的解析式；

（2）从点 $A$ ， $C$ ， $D$ 三个点中任取两个点和点 $B$ 构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；

（3）若点 $M$ 是线段 $BC$ 上的动点，点 $N$ 是 $ΔABC$ 三边上的动点，是否存在以 $AM$ 为斜边的 $Rt Δ AMN$ ，使 $ΔAMN$ 的面积为 $ΔABC$ 面积的 $\frac{1}{3}$ ？若存在，求 $\tan ∠ MAN$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图 1 所示，在四边形 $ABCD$ 中，点 $O$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $AB$ ， $BC$ ， $CD$ ， $AD$ 的中点，连接 $OE$ ， $EF$ ， $FG$ ， $GO$ ， $GE$ ．

（1）证明：四边形 $OEFG$ 是平行四边形；

（2）将 $ΔOGE$ 绕点 $O$ 顺时针旋转得到 $ΔOMN$ ，如图 2 所示，连接 $GM$ ， $EN$ ．

①若 $OE = \sqrt{3}$ ， $OG = 1$ ，求 $\frac{EN}{GM}$ 的值；

②试在四边形 $ABCD$ 中添加一个条件，使 $GM$ ， $EN$ 的长在旋转过程中始终相等．（不要求证明）

某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯 $AB$ 长为 $10 m$ ，坡角 $∠ ABD$ 为 $30 °$ ；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角 $∠ ACB$ 为 $15 °$ ，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯 $AC$ 的长度，（结果精确到0． $m$ ，温馨提示： $\sin 15 ° \approx 0.26$ ， $\tan 15 ° \approx 0.27)$

某公司计划购买 $A$ ， $B$ 两种型号的机器人搬运材料．已知 $A$ 型机器人比 $B$ 型机器人每小时多搬运 $30 kg$ 材料，且 $A$ 型机器人搬运 $1000 kg$ 材料所用的时间与 $B$ 型机器人搬运 $800 kg$ 材料所用的时间相同．

（1）求 $A$ ， $B$ 两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；

（2）该公司计划采购 $A$ ， $B$ 两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于 $2800 kg$ ，则至少购进 $A$ 型机器人多少台？

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