如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝-优题课

如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在 $A$ 处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成 $30 °$ 角，线段 $A A_{1}$ 表示小红身高1.5米．

（1）当风筝的水平距离 $AC = 18$ 米时，求此时风筝线 $AD$ 的长度；

（2）当她从点 $A$ 跑动 $9 \sqrt{2}$ 米到达点 $B$ 处时，风筝线与水平线构成 $45 °$ 角，此时风筝到达点 $E$ 处，风筝的水平移动距离 $CF = 10 \sqrt{3}$ 米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度 $C_{1} D$ ．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形的应用

初三上学期期末考试后，数学老师把一班的数学成绩制成如图所示不完整的统计图（满分120分，每组含最低分，不含最高分），并给出如下信息：①第二组频率是0.12；②第二、三组的频率和是0.48；③自左至右第三，四，五组的频数比为 $9 : 8 : 3$ ；

请你结合统计图解答下列问题：

（1）全班学生共有　　人；

（2）补全统计图；

（3）如果成绩不少于90分为优秀，那么全年级700人中成绩达到优秀的大约多少人？

（4）若不少于100分的学生可以获得学校颁发的奖状，且每班选派两名代表在学校新学期开学式中领奖，则该班得到108分的小强同学能被选中领奖的概率是多少？

如图，以 $ΔABC$ 的边 $AB$ 为直径画 $⊙ O$ ，交 $AC$ 于点 $D$ ，半径 $OE / / BD$ ，连接 $BE$ ， $DE$ ， $BD$ ，设 $BE$ 交 $AC$ 于点 $F$ ，若 $∠ DEB = ∠ DBC$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BF = BC = 2$ ，求图中阴影部分的面积．

如图，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点， $B$ 点坐标为 $(4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, 4)$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 在 $x$ 轴下方的抛物线上，过点 $P$ 的直线 $y = x + m$ 与直线 $BC$ 交于点 $E$ ，与 $y$ 轴交于点 $F$ ，求 $PE + EF$ 的最大值；

（3）点 $D$ 为抛物线对称轴上一点．

①当 $ΔBCD$ 是以 $BC$ 为直角边的直角三角形时，直接写出点 $D$ 的坐标；

②若 $ΔBCD$ 是锐角三角形，直接写出点 $D$ 的纵坐标 $n$ 的取值范围．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $E$ 为线段 $OB$ 上一点（不与 $O$ ， $B$ 重合），作 $EC ⊥ OB$ ，交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，作直径 $CD$ ，过点 $C$ 的切线交 $DB$ 的延长线于点 $P$ ，作 $AF ⊥ PC$ 于点 $F$ ，连接 $CB$ ．

（1）求证： $AC$ 平分 $∠ FAB$ ；

（2）求证： $B C^{2} = CE \cdot CP$ ；

（3）当 $AB = 4 \sqrt{3}$ 且 $\frac{CF}{CP} = \frac{3}{4}$ 时，求劣弧 $\hat{BD}$ 的长度．

如图， $A (4, 3)$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 在第一象限图象上一点，连接 $OA$ ，过 $A$ 作 $AB / / x$ 轴，截取 $AB = OA (B$ 在 $A$ 右侧），连接 $OB$ ，交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象于点 $P$ ．

（1）求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的表达式；

（2）求点 $B$ 的坐标；

（3）求 $ΔOAP$ 的面积．