在直角坐标系中，过原点O及点A(8,0)，C(0,6)作矩形-优题课

先化简，再求值： ${(x - 3)}^{2} + (x + 3) (x - 3) + 2 x (2 - x)$ ，其中 $x = - \frac{1}{2}$ ．

计算： $| - \sqrt{2} | - 2 \sin 45 ° + {(1 - \sqrt{3})}^{0} + \sqrt{2} \times \sqrt{8}$ ．

如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象经过点 $C (2, - 3)$ ，且与 $x$ 轴交于原点及点 $B (8, 0)$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求顶点 $A$ 的坐标及直线 $AB$ 的表达式；

（3）判断 $ΔABO$ 的形状，试说明理由；

（4）若点 $P$ 为 $⊙ O$ 上的动点，且 $⊙ O$ 的半径为 $2 \sqrt{2}$ ，一动点 $E$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段 $AP$ 匀速运动到点 $P$ ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段 $PB$ 匀速运动到点 $B$ 后停止运动，求点 $E$ 的运动时间 $t$ 的最小值．

阅读下面的材料：

如果函数 $y = f (x)$ 满足：对于自变量 $x$ 取值范围内的任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，

（1）若 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ ，则称 $f (x)$ 是增函数；

（2）若 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ，则称 $f (x)$ 是减函数．

例题：证明函数 $f (x) = x^{2} (x > 0)$ 是增函数．

证明：任取 $x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{1} > 0$ ， $x_{2} > 0$ ．

则 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2}) (x_{1} - x_{2})$ ．

$∵ x_{1} < x_{2}$ 且 $x_{1} > 0$ ， $x_{2} > 0$ ，

$∴ x_{1} + x_{2} > 0$ ， $x_{1} - x_{2} < 0$ ．

$∴ (x_{1} + x_{2}) (x_{1} - x_{2}) < 0$ ，即 $f (x_{1}) - f (x_{2}) < 0$ ， $f (x_{1}) < f (x_{2})$ ．

$∴$ 函数 $f (x) = x^{2} (x > 0)$ 是增函数．

根据以上材料解答下列问题：

（1）函数 $f (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ ， $f$ （1） $= \frac{1}{1} = 1$ ， $f$ （2） $= \frac{1}{2}$ ， $f$ （3） $=$ 　　， $f$ （4） $=$ 　　；

（2）猜想 $f (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ 是　　函数（填“增”或“减” $)$ ，并证明你的猜想．

张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度．如图，在桥面正下方的谷底选一观测点 $A$ ，观测到桥面 $B$ ， $C$ 的仰角分别为 $30 °$ ， $60 °$ ，测得 $BC$ 长为320米，求观测点 $A$ 到桥面 $BC$ 的距离．（结果保留整数，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73)$