有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长-优题课

有一张边长为 $a$ 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 $b$ 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：

小明发现这三种方案都能验证公式： $a^{2} + 2 ab + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ，

对于方案一，小明是这样验证的：

$a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} = {(a + b)}^{2}$

请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．

方案二：

方案三：

科目数学题型解答题难度中等

知识点：完全平方公式的几何背景

在 $ΔABC$ 和 $ΔADE$ 中， $BA = BC$ ， $DA = DE$ ．且 $∠ ABC = ∠ ADE = α$ ，点 $E$ 在 $ΔABC$ 的内部，连接 $EC$ ， $EB$ 和 $BD$ ，并且 $∠ ACE + ∠ ABE = 90 °$ ．

（1）如图①，当 $α = 60 °$ 时，线段 $BD$ 与 $CE$ 的数量关系为　　，线段 $EA$ ， $EB$ ， $EC$ 的数量关系为　　；

（2）如图②，当 $α = 90 °$ 时，请写出线段 $EA$ ， $EB$ ， $EC$ 的数量关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，当点 $E$ 在线段 $CD$ 上时，若 $BC = 2 \sqrt{5}$ ，请直接写出 $ΔBDE$ 的面积．

随着人们生活水平的提高，短途旅行日趋火爆．我市某旅行社推出“辽阳 $-$ 葫芦岛海滨观光一日游”项目，团队人均报名费用 $y$ （元 $)$ 与团队报名人数 $x$ （人 $)$ 之间的函数关系如图所示，旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元．旅行社收到的团队总报名费用为 $w$ （元 $)$ ．

（1）直接写出当 $x ⩾ 20$ 时， $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式及自变量 $x$ 的取值范围；

（2）儿童节当天旅行社收到某个团队的总报名费为3000元，报名旅游的人数是多少？

（3）当一个团队有多少人报名时，旅行社收到的总报名费最多？最多总报名费是多少元？

如图， $ΔABC$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $OF ⊥ AB$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ，点 $E$ 在 $AB$ 的延长线上，射线 $EM$ 经过点 $C$ ，且 $∠ ACE + ∠ AFO = 180 °$ ．

（1）求证： $EM$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $∠ A = ∠ E$ ， $BC = \sqrt{3}$ ，求阴影部分的面积．（结果保留 $π$ 和根号）．

如图，菱形 $ABCD$ 的顶点 $A$ 在 $y$ 轴正半轴上，边 $BC$ 在 $x$ 轴上，且 $BC = 5$ ， $\sin ∠ ABC = \frac{4}{5}$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象分别与 $AD$ ， $CD$ 交于点 $M$ 、点 $N$ ，点 $N$ 的坐标是 $(3, n)$ ，连接 $OM$ ， $MC$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求证： $ΔOMC$ 是等腰三角形．

青年志愿者爱心小分队赴山村送温暖，准备为困难村民购买一些米面．已知购买1袋大米、4袋面粉，共需240元；购买2袋大米、1袋面粉，共需165元．

（1）求每袋大米和面粉各多少元？

（2）如果爱心小分队计划购买这些米面共40袋，总费用不超过2140元，那么至少购买多少袋面粉？

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