如图1，窗框和窗扇用滑块铰链连接，图3是图2中滑块铰链的平面-优题课

某超市为庆祝开业举办大酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店购物的顾客，都能获得一次抽奖的机会，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1、2、3、4的4个小球，它们的形状、大小、质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和，若两次所得的数字之和为8，则可获得50元代金券一张；若所得的数字之和为6，则可获得30元代金券一张；若所得的数字之和为5，则可获得15元代金券一张；其他情况都不中奖．

（1）请用列表或树状图（树状图也称树形图）的方法（选其中一种即可），把抽奖一次可能出现的结果表示出来；

（2）假如你参加了该超市开业当天的一次抽奖活动，求能中奖的概率 $P$ ．

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上一点，过点 $C$ 的直线交 $AB$ 的延长线于点 $D$ ， $AE ⊥ DC$ ，垂足为 $E$ ， $F$ 是 $AE$ 与 $⊙ O$ 的交点， $AC$ 平分 $∠ BAE$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AE = 6$ ， $∠ D = 30 °$ ，求图中阴影部分的面积．

如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ， $∠ ABC : ∠ BAD = 1 : 2$ ， $BE / / AC$ ， $CE / / BD$ ．

（1）求 $\tan ∠ DBC$ 的值；

（2）求证：四边形 $OBEC$ 是矩形．

如图：点 $C$ 是 $AE$ 的中点， $∠ A = ∠ ECD$ ， $AB = CD$ ，求证： $∠ B = ∠ D$ ．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $O$ 是 $AB$ 边上的一点，以 $OA$ 为半径的 $⊙ O$ 与边 $BC$ 相切于点 $E$ ．

（1）若 $AC = 5$ ， $BC = 13$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

（2）过点 $E$ 作弦 $EF ⊥ AB$ 于 $M$ ，连接 $AF$ ，若 $∠ F = 2 ∠ B$ ，求证：四边形 $ACEF$ 是菱形．