在抗击疫情期间，某学校工会号召广大教师积极开展了献爱心捐款活-优题课

在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买 $A$ 、 $B$ 两种防疫物品．如果购买 $A$ 种物品60件， $B$ 种物品45件，共需1140元；如果购买 $A$ 种物品45件， $B$ 种物品30件，共需840元．

（1）求 $A$ 、 $B$ 两种防疫物品每件各多少元；

（2）现要购买 $A$ 、 $B$ 两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么 $A$ 种防疫物品最多购买多少件？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一元一次不等式的应用二元一次方程组的应用

如图，直线 $l$ 与 $⊙ O$ 相离， $OA ⊥ l$ 于点 $A$ ，与 $⊙ O$ 相交于点 $P$ ， $OA = 5$ ． $C$ 是直线 $l$ 上一点，连结 $CP$ 并延长交 $⊙ O$ 于另一点 $B$ ，且 $AB = AC$ ．

（1）求证： $AB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为3，求线段 $BP$ 的长．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (k + 4) x + 4 k = 0$ ．

（1）求证：无论 $k$ 为任何实数，此方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，满足 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{3}{4}$ ，求 $k$ 的值；

（3）若 $Rt Δ ABC$ 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，求 $Rt Δ ABC$ 的内切圆半径．

某校组织学生参加“安全知识竞赛”，测试结束后，张老师从七年级720名学生中随机地抽取部分学生的成绩绘制了条形统计图，如图所示．试根据条形统计图中提供的信息，回答下列问题：

（1）张老师抽取的这部分学生中，共有　　名男生，　　名女生；

（2）张老师抽取的这部分学生中，女生成绩的众数是　　；

（3）若将不低于27分的成绩定为优秀，请估计七年级720名学生中成绩为优秀的学生人数大约是多少．

如图，已知过点 $B (1, 0)$ 的直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2} : y = 2 x + 4$ 相交于点 $P (- 1, a)$ ．

（1）求直线 $l_{1}$ 的解析式；

（2）求四边形 $PAOC$ 的面积．

化简： $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 1} \div \frac{x^{2} - x}{x + 1}$ ．