在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC-优题课

在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片 $ABC$ 和 $DEF$ 拼在一起，使点 $A$ 与点 $F$ 重合，点 $C$ 与点 $D$ 重合（如图 $1)$ ，其中 $∠ ACB = ∠ DFE = 90 °$ ， $BC = EF = 3 cm$ ， $AC = DF = 4 cm$ ，并进行如下研究活动．

活动一：将图1中的纸片 $DEF$ 沿 $AC$ 方向平移，连结 $AE$ ， $BD$ （如图 $2)$ ，当点 $F$ 与点 $C$ 重合时停止平移．

[思考]图2中的四边形 $ABDE$ 是平行四边形吗？请说明理由．

[发现]当纸片 $DEF$ 平移到某一位置时，小兵发现四边形 $ABDE$ 为矩形（如图 $3)$ ．求 $AF$ 的长．

活动二：在图3中，取 $AD$ 的中点 $O$ ，再将纸片 $DEF$ 绕点 $O$ 顺时针方向旋转 $α$ 度 $(0 ⩽ α ⩽ 90)$ ，连结 $OB$ ， $OE$ （如图 $4)$ ．

[探究]当 $EF$ 平分 $∠ AEO$ 时，探究 $OF$ 与 $BD$ 的数量关系，并说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：平移的性质矩形的性质全等三角形的判定与性质勾股定理

如图1，在平面直角坐标系中，点 $B$ 在 $x$ 轴正半轴上， $OB$ 的长度为 $2 m$ ，以 $OB$ 为边向上作等边三角形 $AOB$ ，抛物线 $l : y = a x^{2} + bx + c$ 经过点 $O$ ， $A$ ， $B$ 三点

（1）当 $m = 2$ 时， $a =$ 　　，当 $m = 3$ 时， $a =$ 　　；

（2）根据（1）中的结果，猜想 $a$ 与 $m$ 的关系，并证明你的结论；

（3）如图2，在图1的基础上，作 $x$ 轴的平行线交抛物线 $l$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点， $PQ$ 的长度为 $2 n$ ，当 $ΔAPQ$ 为等腰直角三角形时， $a$ 和 $n$ 的关系式为　　；

（4）利用（2）（3）中的结论，求 $ΔAOB$ 与 $ΔAPQ$ 的面积比．

如图，在等腰直角三角形 $ABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $AC = 8 \sqrt{2} cm$ ， $AD ⊥ BC$ 于点 $D$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A \to C$ 方向以 $\sqrt{2} cm / s$ 的速度运动到点 $C$ 停止，在运动过程中，过点 $P$ 作 $PQ / / AB$ 交 $BC$ 于点 $Q$ ，以线段 $PQ$ 为边作等腰直角三角形 $PQM$ ，且 $∠ PQM = 90 °$ （点 $M$ ， $C$ 位于 $PQ$ 异侧）．设点 $P$ 的运动时间为 $x (s)$ ， $ΔPQM$ 与 $ΔADC$ 重叠部分的面积为 $y (c m^{2})$

（1）当点 $M$ 落在 $AB$ 上时， $x =$ 　　；

（2）当点 $M$ 落在 $AD$ 上时， $x =$ 　　；

（3）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

（1）如图1，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ，以点 $B$ 为中心，把 $ΔABC$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到△ $A_{1} B C_{1}$ ；再以点 $C$ 为中心，把 $ΔABC$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到△ $A_{2} B_{1} C$ ，连接 $C_{1} B_{1}$ ，则 $C_{1} B_{1}$ 与 $BC$ 的位置关系为　　；

（2）如图2，当 $ΔABC$ 是锐角三角形， $∠ ABC = α (α \neq 60 °)$ 时，将 $ΔABC$ 按照（1）中的方式旋转 $α$ ，连接 $C_{1} B_{1}$ ，探究 $C_{1} B_{1}$ 与 $BC$ 的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；

（3）如图3，在图2的基础上，连接 $B_{1} B$ ，若 $C_{1} B_{1} = \frac{2}{3} BC$ ，△ $C_{1} B B_{1}$ 的面积为4，则△ $B_{1} BC$ 的面积为　　．

甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从 $A$ 地出发前往 $B$ 地，甲出发 $1 h$ 后，乙出发，设甲与 $A$ 地相距 $y_{甲} (km)$ ，乙与 $A$ 地相距 $y_{乙} (km)$ ，甲离开 $A$ 地的时间为 $x (h)$ ， $y_{甲}$ 、 $y_{乙}$ 与 $x$ 之间的函数图象如图所示．

（1）甲的速度是　　 $km / h$ ；

（2）当 $1 ⩽ x ⩽ 5$ 时，求 $y_{乙}$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（3）当乙与 $A$ 地相距 $240 km$ 时，甲与 $A$ 地相距　　 $km$ ．

如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上有一点 $A (m, 4)$ ，过点 $A$ 作 $AB ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，将点 $B$ 向右平移2个单位长度得到点 $C$ ，过点 $C$ 作 $y$ 轴的平行线交反比例函数的图象于点 $D$ ， $CD = \frac{4}{3}$

（1）点 $D$ 的横坐标为　　（用含 $m$ 的式子表示）；

（2）求反比例函数的解析式．