某校举行了防溺水知识竞赛．八年级两个班各选派10名同学参加预-优题课

题文

某校举行了"防溺水"知识竞赛．八年级两个班各选派10名同学参加预赛，依据各参赛选手的成绩（均为整数）绘制了统计表和折线统计图（如图所示）．

班级	八（1）班	八（2）班
最高分	100	99
众数	$a$	98
中位数	96	$b$
平均数	$c$	94.8

（1）统计表中， $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　；

（2）若从两个班的预赛选手中选四名学生参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在成绩为98分的学生中任选两个，求另外两个决赛名额落在不同班级的概率．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：算术平均数中位数众数列表法与树状图法统计表折线统计图

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如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ，且 $DE / / AC$ ， $AE / / BD$ ．求证：四边形 $AODE$ 是矩形．

在一个不透明的口袋中装有 1 个红球， 1 个绿球和 1 个白球，这 3 个球除颜色不同外，其它都相同，从口袋中随机摸出 1 个球，记录其颜色．然后放回口袋并摇匀，再从口袋中随机摸出 1 个球，记录其颜色，请利用画树状图或列表的方法，求两次摸到的球都是红球的概率．

如图，在平面直角坐标系中，有抛物线 $y = a {(x - h)}^{2}$ ．抛物线 $y = a {(x - 3)}^{2} + 4$ 经过原点，与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，与其对称轴交于点 $B$ ， $P$ 是抛物线 $y = a {(x - 3)}^{2} + 4$ 上一点，且在 $x$ 轴上方，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线 $y = a {(x - h)}^{2}$ 于点 $Q$ ，过点 $Q$ 作 $PQ$ 的垂线交抛物线 $y = a {(x - h)}^{2}$ 于点 $Q'$ （不与点 $Q$ 重合），连结 $PQ'$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

（1）求 $a$ 的值；

（2）当抛物线 $y = a {(x - h)}^{2}$ 经过原点时，设 $ΔPQQ'$ 与 $ΔOAB$ 重叠部分图形的周长为 $l$ ．

①求 $\frac{PQ}{QQ'}$ 的值；

②求 $l$ 与 $m$ 之间的函数关系式；

（3）当 $h$ 为何值时，存在点 $P$ ，使以点 $O$ ， $A$ ， $Q$ ， $Q'$ 为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出 $h$ 的值．

如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$ ， $AB = 8$ ， $∠ BAD = 60 °$ ，点 $E$ 从点 $A$ 出发，沿 $AB$ 以每秒2个单位长度的速度向终点 $B$ 运动，当点 $E$ 不与点 $A$ 重合时，过点 $E$ 作 $EF ⊥ AD$ 于点 $F$ ，作 $EG / / AD$ 交 $AC$ 于点 $G$ ，过点 $G$ 作 $GH ⊥ AD$ 交 $AD$ （或 $AD$ 的延长线）于点 $H$ ，得到矩形 $EFHG$ ，设点 $E$ 运动的时间为 $t$ 秒

（1）求线段 $EF$ 的长（用含 $t$ 的代数式表示）；

（2）求点 $H$ 与点 $D$ 重合时 $t$ 的值；

（3）设矩形 $EFHG$ 与菱形 $ABCD$ 重叠部分图形的面积与 $S$ 平方单位，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

（4）矩形 $EFHG$ 的对角线 $EH$ 与 $FG$ 相交于点 $O'$ ，当 $OO' / / AD$ 时， $t$ 的值为　　；当 $OO' ⊥ AD$ 时， $t$ 的值为　　．

感知：如图1， $AD$ 平分 $∠ BAC$ ． $∠ B + ∠ C = 180 °$ ， $∠ B = 90 °$ ，易知： $DB = DC$ ．

探究：如图2， $AD$ 平分 $∠ BAC$ ， $∠ ABD + ∠ ACD = 180 °$ ， $∠ ABD < 90 °$ ，求证： $DB = DC$ ．

应用：如图3，四边形 $ABCD$ 中， $∠ B = 45 °$ ， $∠ C = 135 °$ ， $DB = DC = a$ ，则 $AB - AC =$ 　 $\sqrt{2} a$ 　（用含 $a$ 的代数式表示）

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