中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2-优题课

中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以"茶和世界共品共享"为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了 $A$ 种茶叶若干盒，用8400元购进 $B$ 种茶叶若干盒，所购 $B$ 种茶叶比 $A$ 种茶叶多10盒，且 $B$ 种茶叶每盒进价是 $A$ 种茶叶每盒进价的1.4倍．

（1） $A$ ， $B$ 两种茶叶每盒进价分别为多少元？

（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进 $A$ ， $B$ 两种茶叶共100盒（进价不变）， $A$ 种茶叶的售价是每盒300元， $B$ 种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进 $A$ ， $B$ 两种茶叶各多少盒？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：分式方程的应用一元一次方程的应用

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + 4 x - 3$ 图象的顶点是 $A$ ，与 $x$ 轴交于 $B$ ， $C$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $D$ ．点 $B$ 的坐标是 $(1, 0)$ ．

（1）求 $A$ ， $C$ 两点的坐标，并根据图象直接写出当 $y > 0$ 时 $x$ 的取值范围．

（2）平移该二次函数的图象，使点 $D$ 恰好落在点 $A$ 的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条 $AB = AC = 50 cm$ ， $∠ ABC = 47 °$ ．

（1）求车位锁的底盒长 $BC$ ．

（2）若一辆汽车的底盘高度为 $30 cm$ ，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？

（参考数据： $\sin 47 ° \approx 0.73$ ， $\cos 47 ° \approx 0.68$ ， $\tan 47 ° \approx 1.07)$

图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：

（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．

（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．

（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）

（1）计算： ${(a + 1)}^{2} + a (2 - a)$ ．

（2）解不等式： $3 x - 5 < 2 (2 + 3 x)$ ．

如图，在平面直角坐标系中，正方形 $ABOC$ 的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过 $OB$ ， $OC$ 的中点 $D$ ， $E$ 作 $AE$ ， $AD$ 的平行线，相交于点 $F$ ，已知 $OB = 8$ ．

（1）求证：四边形 $AEFD$ 为菱形．

（2）求四边形 $AEFD$ 的面积．

（3）若点 $P$ 在 $x$ 轴正半轴上（异于点 $D)$ ，点 $Q$ 在 $y$ 轴上，平面内是否存在点 $G$ ，使得以点 $A$ ， $P$ ， $Q$ ， $G$ 为顶点的四边形与四边形 $AEFD$ 相似？若存在，求点 $P$ 的坐标；若不存在，试说明理由．

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