双曲线x2y2b21(b<0)的左、右焦点分别为F1，F2，-优题课

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题文

双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l$ 过 $F_{2}$ 且与双曲线交于 $A$ ， $B$ 两点．

（1）直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{2}$ ，△ $F_{1} AB$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设 $b = \sqrt{3}$ ，若 $l$ 的斜率存在，且 $(\vec{F_{1} A} + \vec{F_{1} B}) \cdot \vec{AB} = 0$ ，求 $l$ 的斜率．

科目数学题型解答题难度中等

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已知直线y=-2上有一个动点Q,过点Q作直线l₁垂直于x轴,动点P在l₁上,且满足OP⊥OQ(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程.
(2)若直线l₂是曲线C的一条切线,当点(0,2)到直线l₂的距离最短时,求直线l₂的方程.

椭圆C₁:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P是双曲线C₂:-=1在第一象限内的图象上一点,直线AP,BP与椭圆C₁分别交于C,D点,若S_△ACD=S_△PCD.

(1)求P点的坐标.
(2)能否使直线CD过椭圆C₁的右焦点,若能,求出此时双曲线C₂的离心率;若不能,请说明理由.

P(x₀,y₀)(x₀≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率.
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.

已知双曲线的中心在原点,焦点F₁,F₂在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).
(1)求双曲线的方程.
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0.
(3)求△F₁MF₂的面积.

已知椭圆C:+=1(a>b>0).
(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为,求椭圆的标准方程.
(2)在(1)的条件下,设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
(3)过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆+=1(a>b>0)相交于P,S,R,Q四点,设原点O到四边形PQSR一边的距离为d,试求d=1时a,b满足的条件.

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