已知抛物线yax2bxc与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线-优题课

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴只有一个公共点．

（1）若抛物线过点 $P (0, 1)$ ，求 $a + b$ 的最小值；

（2）已知点 $P_{1} (- 2, 1)$ ， $P_{2} (2, - 1)$ ， $P_{3} (2, 1)$ 中恰有两点在抛物线上．

①求抛物线的解析式；

②设直线 $l : y = kx + 1$ 与抛物线交于 $M$ ， $N$ 两点，点 $A$ 在直线 $y = - 1$ 上，且 $∠ MAN = 90 °$ ，过点 $A$ 且与 $x$ 轴垂直的直线分别交抛物线和 $l$ 于点 $B$ ， $C$ ．求证： $ΔMAB$ 与 $ΔMBC$ 的面积相等．

科目数学题型解答题难度困难

知识点：二次函数图象上点的坐标特征待定系数法求二次函数解析式抛物线与x轴的交点二次函数综合题

如果一个自然数 $M$ 的个位数字不为0，且能分解成 $A \times B$ ，其中 $A$ 与 $B$ 都是两位数， $A$ 与 $B$ 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数 $M$ 为"合和数"，并把数 $M$ 分解成 $M = A \times B$ 的过程，称为"合分解"．

例如 $∵ 609 = 21 \times 29$ ，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，

$∴ 609$ 是"合和数"．

又如 $∵ 234 = 18 \times 13$ ，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，

$∴ 234$ 不是"合和数"．

（1）判断168，621是否是"合和数"？并说明理由；

（2）把一个四位"合和数" $M$ 进行"合分解"，即 $M = A \times B$ ． $A$ 的各个数位数字之和与 $B$ 的各个数位数字之和的和记为 $P (M)$ ； $A$ 的各个数位数字之和与 $B$ 的各个数位数字之和的差的绝对值记为 $Q (M)$ ．令 $G (M) = \frac{P (M)}{Q (M)}$ ，当 $G (M)$ 能被4整除时，求出所有满足条件的 $M$ ．

某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产 $A$ 产品，乙车间生产 $B$ 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知 $A$ 产品的销售单价比 $B$ 产品的销售单价高100元，1件 $A$ 产品与1件 $B$ 产品售价和为500元．

（1） $A$ 、 $B$ 两种产品的销售单价分别是多少元？

（2）随着 $5 G$ 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制 $B$ 产品的生产车间．预计 $A$ 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加 $a %$ ； $B$ 产品产量将在去年的基础上减少 $a %$ ，但 $B$ 产品的销售单价将提高 $3 a %$ ．则今年 $A$ 、 $B$ 两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加 $\frac{29}{25} a %$ ．求 $a$ 的值．

在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数 $y = \frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 1}$ 的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；

$x$	$\dots$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$y = \frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 1}$	$\dots$	$- \frac{21}{26}$	$- \frac{12}{17}$	$- \frac{1}{2}$	0	$\frac{3}{2}$	4	$\frac{3}{2}$	0				$\dots$

（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的 $" D$ 条性质；

（3）已知函数 $y = - \frac{3}{2} x + 3$ 的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式 $- \frac{3}{2} x + 3 > \frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 1}$ 的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过 $0.2)$

如图，在 $▱ ABCD$ 中， AB $>$ AD．

（1）用尺规完成以下基本作图：在 AB上截取 AE，使得 AE= AD；作∠ BCD的平分线交 AB于点 F．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，连接 DE交 CF于点 P，猜想△ CDP按角分类的类型，并证明你的结论．

"惜餐为荣，殄物为耻"，为了解落实"光盘行动"的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据（单位： $kg)$ ，进行整理和分析（餐厨垃圾质量用 $x$ 表示，共分为四个等级： $A$ ． $x < 1$ ， $B . 1 ⩽ x < 1.5$ ， $C . 1.5 ⩽ x < 2$ ， $D$ ． $x ⩾ 2)$ ，下面给出了部分信息．

七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3．

八年级10个班的餐厨垃圾质量中 $B$ 等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2．

七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表

年级	平均数	中位数	众数	方差	$A$ 等级所占百分比
七年级	1.3	1.1	$a$	0.26	$40 %$
八年级	1.3	$b$	1.0	0.23	$m %$

根据以上信息，解答下列问题：

（1）直接写出上述表中 $a$ ， $b$ ， $m$ 的值；

（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合 $A$ 等级的班级数；

（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的"光盘行动"，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．