为了庆祝中国共产党成立100周年，某校组织了党史知识竞赛，学-优题课

为了庆祝中国共产党成立100周年，某校组织了党史知识竞赛，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍对表现优异的班级进行奖励．若购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需280元；若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需480元．求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各是多少元？

科目数学题型解答题难度未知

知识点：二元一次方程组的应用

如图， $AD$ 是 $ΔABC$ 的外接圆 $⊙ O$ 的直径，点 $P$ 在 $BC$ 延长线上，且满足 $∠ PAC = ∠ B$ ．

（1）求证： $PA$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）弦 $CE ⊥ AD$ 交 $AB$ 于点 $F$ ，若 $AF \cdot AB = 12$ ，求 $AC$ 的长．

如图，已知一次函数 $y = kx + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 的横坐标是2，点 $B$ 的纵坐标是 $- 2$ ．

（1）求一次函数的解析式；

（2）求 $ΔAOB$ 的面积．

某区域为响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强了绿化建设．为了解该区域群众对绿化建设的满意程度，某中学数学兴趣小组在该区域的甲、乙两个片区进行了调查，得到如下不完整统计图．

请结合图中信息，解决下列问题：

（1）此次调查中接受调查的人数为　　人，其中“非常满意”的人数为　　人；

（2）兴趣小组准备从“不满意”的4位群众中随机选择2位进行回访，已知这4位群众中有2位来自甲片区，另2位来自乙片区，请用画树状图或列表的方法求出选择的群众均来自甲片区的概率．

某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由 $45 °$ 调为 $30 °$ ，如图，已知原滑滑板 $AB$ 的长为4米，点 $D$ ， $B$ ， $C$ 在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{6} \approx 2.449)$

如图，在等腰直角三角形 $ABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴上，点 $C (3, 1)$ ，二次函数 $y = \frac{1}{3} x^{2} + bx - \frac{3}{2}$ 的图象经过点 $C$ ．

（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式；

（2）把 $ΔABC$ 沿 $x$ 轴正方向平移，当点 $B$ 落在抛物线上时，求 $ΔABC$ 扫过区域的面积；

（3）在抛物线上是否存在异于点 $C$ 的点 $P$ ，使 $ΔABP$ 是以 $AB$ 为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

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