如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是边 $\mathit{AB}$上一点， $\mathit{BE}=\mathit{BC}$， $\mathit{EF}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $F$．将四边形 $\mathit{CBEF}$绕点 $C$顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <90°)$，得到四边形 $C{B}^{\text{'}}{E}^{\text{'}}F\text{'}$， $B\text{'}E\text{'}$所在的直线分别交直线 $\mathit{BC}$于点 $G$，交直线 $\mathit{AD}$于点 $P$，交 $\mathit{CD}$于点 $K$． $E\text{'}F\text{'}$所在的直线分别交直线 $\mathit{BC}$于点 $H$，交直线 $\mathit{AD}$于点 $Q$，连接 $B\text{'}F\text{'}$交 $\mathit{CD}$于点 $O$．

（1）如图1，求证：四边形 $\mathit{BEFC}$是正方形；

（2）如图2，当点 $Q$和点 $D$重合时．

①求证： $\mathit{GC}=\mathit{DC}$；

②若 $\mathit{OK}=1$， $\mathit{CO}=2$，求线段 $\mathit{GP}$的长；

（3）如图3，若 $\mathit{BM}//F\text{'}B\text{'}$交 $\mathit{GP}$于点 $M$， $\tan \angle G=\frac{1}{2}$，求 $\frac{S_{\mathit{\Delta GMB}}}{S_{△\mathit{CF}\text{'}H}}$的值．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 相似三角形的判定与性质 矩形的性质 全等三角形的判定与性质 正方形的判定