为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色-优题课

为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．

（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？

（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？

科目数学题型解答题难度未知

知识点：一元一次不等式的应用一元一次方程的应用

如图，在 $ΔABC$ 中，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 分别与 $BC$ ， $AC$ 相交于点 $D$ ， $E$ ， $BD = CD$ ，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线交边 $AC$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $DF ⊥ AC$ ；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为5， $∠ CDF = 30 °$ ，求 $\hat{BD}$ 的长（结果保留 $π)$ ．

我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种项目的活动，为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机调查了该校 $m$ 名学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择四种活动项目的一种），并将调查结果绘制成如下的不完整的统计图表：

学生最喜欢的活动项目的人数统计表

项目	学生数（名 $)$	百分比
丢沙包	20	$10 %$
打篮球	60	$p %$
跳大绳	$n$	$40 %$
踢毽球	40	$20 %$

根据图表中提供的信息，解答下列问题：

（1） $m =$ 　　， $n =$ 　　， $p =$ 　　；

（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；

（3）根据抽样调查结果，请你估计该校2000名学生中有多少名学生最喜欢跳大绳．

如图， $ΔABC ≅ ΔABD$ ，点 $E$ 在边 $AB$ 上， $CE / / BD$ ，连接 $DE$ ．求证：

（1） $∠ CEB = ∠ CBE$ ；

（2）四边形 $BCED$ 是菱形．

为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》（分别用字母 $A$ ， $B$ ， $C$ 依次表示这三个诵读材料），将 $A$ ， $B$ ， $C$ 这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明和小亮参加诵读比赛，比赛时小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛．

（1）小明诵读《论语》的概率是　　；

（2）请用列表法或画树状图（树形图）法求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 4$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ，交 $x$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点， $A (- 2, 0)$ ， $a + b = \frac{1}{2}$ ，点 $M$ 是抛物线上的动点，点 $M$ 在顶点和 $B$ 点之间运动（不包括顶点和 $B$ 点）， $ME / / y$ 轴，交直线 $BC$ 于点 $E$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求线段 $ME$ 的最大值；

（3）若点 $F$ 在直线 $BC$ 上， $EF = \frac{9 \sqrt{2}}{4}$ ， $∠ EFM = ∠ ACO$ ，求点 $F$ 的坐标．