数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44°，求北纬44-优题课

题文

数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬 $44 °$ ，求北纬 $44 °$ 纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：

（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；

（2）如图， $⊙ O$ 是经过南、北极的圆，地球半径 $OA$ 约为 $6400 km$ ．弦 $BC / / OA$ ，过点 $O$ 作 $OK ⊥ BC$ 于点 $K$ ，连接 $OB$ ．若 $∠ AOB = 44 °$ ，则以 $BK$ 为半径的圆的周长是北纬 $44 °$ 纬线的长度；

（3）参考数据： $π$ 取3， $\sin 44 ° = 0.69$ ， $\cos 44 ° = 0.72$ ．

小组成员给出了如下解答，请你补充完整：

解：因为 $BC / / OA$ ， $∠ AOB = 44 °$ ，

所以 $∠ B = ∠ AOB = 44 ° ($ 　　 $)$ （填推理依据），

因为 $OK ⊥ BC$ ，所以 $∠ BKO = 90 °$ ，

在 $Rt Δ BOK$ 中， $OB = OA = 6400$ ．

$BK = OB \times$ 　　（填" $\sin B$ "或" $\cos B$ " $)$ ．

所以北纬 $44 °$ 的纬线长 $C = 2 π \cdot BK$ ．

$= 2 \times 3 \times 6400 \times$ 　　（填相应的三角形函数值）

$\approx$ 　　 $(km)$ （结果取整数）．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形

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为了完成“舌尖上的中国”的录制，节目组随机抽查了某省“ $A$ ．奶制品类， $B$ ．肉制品类， $C$ ．面制品类， $D$ ．豆制品类”四类特色美食若干种，将收集的数据整理并绘制成下面两幅尚不完整的统计图，请根据图中信息完成下列问题：

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（1）平移 $ΔABC$ ，使点 $C$ 移到点 $C_{1} (- 2, - 4)$ ，画出平移后的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ 的坐标；

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（3）求（2）中的点 $C$ 旋转到点 $C_{2}$ 时，点 $C$ 经过的路径长（结果保留 $π)$ ．

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（1）若 $∠ ABC = 60 °$ ， $BP = AQ$ ．

①如图1，当点 $P$ 在线段 $BD$ 上运动时，请直接写出线段 $DE$ 和线段 $AQ$ 的数量关系和位置关系；

②如图2，当点 $P$ 运动到线段 $BD$ 的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；

（2）若 $∠ ABC = 2 α \neq 60 °$ ，请直接写出当线段 $BP$ 和线段 $AQ$ 满足什么数量关系时，能使（1）中①的结论仍然成立（用含 $α$ 的三角函数表示）．

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如图， $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ，以 $AB$ 为直径作 $⊙ O$ ，点 $D$ 为 $⊙ O$ 上一点，且 $CD = CB$ ，连接 $DO$ 并延长交 $CB$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）判断直线 $CD$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $BE = 4$ ， $DE = 8$ ，求 $AC$ 的长．

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