二次函数 $y=x^2-2\mathit{mx}$的图象交 $x$轴于原点 $O$及点 $A$．

感知特例

（1）当 $m=1$时，如图1，抛物线 $L:y=x^2-2x$上的点 $B$， $O$， $C$， $A$， $D$分别关于点 $A$中心对称的点为 $B\text{'}$， $O\text{'}$， $C\text{'}$， $A\text{'}$， $D\text{'}$，如表：

$\dots$	$B(-1,3)$	$O(0,0)$	$C(1,-1)$	$A($　　，　　 $)$	$D(3,3)$	$\dots$
$\dots$	$B^{\text{'}}(5,-3)$	$O\text{'}(4,0)$	$C^{\text{'}}(3,1)$	$A\text{'}(2,0)$	$D^{\text{'}}(1,-3)$	$\dots$

①补全表格；

②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为 $L^{\text{'}}$．

形成概念

我们发现形如（1）中的图象 $L^{\text{'}}$上的点和抛物线 $L$上的点关于点 $A$中心对称，则称 $L^{\text{'}}$是 $L$的“孔像抛物线”．例如，当 $m=-2$时，图2中的抛物线 $L^{\text{'}}$是抛物线 $L$的“孔像抛物线”．

探究问题

（2）①当 $m=-1$时，若抛物线 $L$与它的“孔像抛物线” $L^{\text{'}}$的函数值都随着 $x$的增大而减小，则 $x$的取值范围为 　　；

②在同一平面直角坐标系中，当 $m$取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数 $y=x^2-2\mathit{mx}$的所有“孔像抛物线” $L^{\text{'}}$都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 　　（填“ $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$”或“ $y=a{x}^2+\mathit{bx}$”或“ $y=a{x}^2+c$”或“ $y=a{x}^2$”，其中 $\mathit{abc}\ne 0)$；

③若二次函数 $y=x^2-2\mathit{mx}$及它的“孔像抛物线”与直线 $y=m$有且只有三个交点，求 $m$的值．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 二次函数图象与几何变换 二次函数综合题