如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为BC-优题课

如图，在 $⊙ O$ 中， $AB$ 是直径，弦 $CD ⊥ AB$ ，垂足为 $H$ ， $E$ 为 $\hat{BC}$ 上一点， $F$ 为弦 $DC$ 延长线上一点，连接 $FE$ 并延长交直径 $AB$ 的延长线于点 $G$ ，连接 $AE$ 交 $CD$ 于点 $P$ ，若 $FE = FP$ ．

（1）求证： $FE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为8， $\sin F = \frac{3}{5}$ ，求 $BG$ 的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆周角定理解直角三角形切线的判定

如图，抛物线 $y ＝ a x^{2} + bx - \frac{5}{3}$ 经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；

（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且 $BP ＝ CQ$ ，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ所在直线对折得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M．

（1）求证： $AP ⊥ BQ$ ；

（2）若 $AB ＝ 3$ ， $BP ＝ 2 PC$ ，求QM的长；

（3）当 $BP ＝ m$ ， $PC ＝ n$ 时，求AM的长．

周末，小芳骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小芳离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，行驶10分钟时，恰好经过甲地，如图是她们距乙地的路程y（km）与小芳离家时间x（h）的函数图象．

（1）小芳骑车的速度为　　km/h，H点坐标　　．

（2）小芳从家出发多少小时后被妈妈追上？此时距家的路程多远？

（3）相遇后，妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地（彼此交流时间忽略不计），求小芳比预计时间早几分钟到达乙地？

自主学习，请阅读下列解题过程．

解一元二次不等式： $x^{2} ﹣ 5 x ＞ 0$ ．

解：设 $x^{2} ﹣ 5 x ＝ 0$ ，解得： $x_{1} ＝ 0 ， x_{2} ＝ 5$ ，则抛物线 $y ＝ x^{2} ﹣ 5 x$ 与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数 $y ＝ x^{2} ﹣ 5 x$ 的大致图象（如图所示），由图象可知：当 $x ＜ 0$ ，或 $x ＞ 5$ 时函数图象位于x轴上方，此时 $y ＞ 0$ ，即 $x^{2} ﹣ 5 x ＞ 0$ ，所以，一元二次不等式 $x^{2} ﹣ 5 x ＞ 0$ 的解集为： $x ＜ 0$ ，或 $x ＞ 5$ ．

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的　　和　　．（只填序号）

①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想

（2）一元二次不等式 $x^{2} ﹣ 5 x ＜ 0$ 的解集为　．

（3）用类似的方法解一元二次不等式： $x^{2} ﹣ 2 x ﹣ 3 ＞ 0$ ．

如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D

（1）求证： $△ BFD ∽ △ ABD$ ；

（2）求证： $DE ＝ DB$ ．