综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①-优题课

题文

综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在 $▱ ABCD$ 中， $BE ⊥ AD$ ，垂足为 $E$ ， $F$ 为 $CD$ 的中点，连接 $EF$ ， $BF$ ，试猜想 $EF$ 与 $BF$ 的数量关系，并加以证明．

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将 $▱ ABCD$ 沿着 $BF (F$ 为 $CD$ 的中点）所在直线折叠，如图②，点 $C$ 的对应点为 $C'$ ，连接 $DC'$ 并延长交 $AB$ 于点 $G$ ，请判断 $AG$ 与 $BG$ 的数量关系，并加以证明．

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将 $▱ ABCD$ 沿过点 $B$ 的直线折叠，如图③，点 $A$ 的对应点为 $A'$ ，使 $A' B ⊥ CD$ 于点 $H$ ，折痕交 $AD$ 于点 $M$ ，连接 $A' M$ ，交 $CD$ 于点 $N$ ．该小组提出一个问题：若此 $▱ ABCD$ 的面积为20，边长 $AB = 5$ ， $BC = 2 \sqrt{5}$ ，求图中阴影部分（四边形 $BHNM)$ 的面积．请你思考此问题，直接写出结果．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：平行四边形的性质翻折变换（折叠问题）四边形综合题

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已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + \frac{1}{2} k^{2} - 2 = 0$ ．

（1）求证：无论 $k$ 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1} - x_{2} = 3$ ，求 $k$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 1, 5)$ ， $B (- 3, 1)$ 和 $C (4, 0)$ ，请按下列要求画图并填空．

（1）平移线段 $AB$ ，使点 $A$ 平移到点 $C$ ，画出平移后所得的线段 $CD$ ，并写出点 $D$ 的坐标为　　；

（2）将线段 $AB$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ ，画出旋转后所得的线段 $AE$ ，并直接写出 $\cos ∠ BCE$ 的值为　　；

（3）在 $y$ 轴上找出点 $F$ ，使 $ΔABF$ 的周长最小，并直接写出点 $F$ 的坐标为　　．

有4张看上去无差别的卡片，上面分别写有数 $- 1$ ，2，5，8．

（1）随机抽取一张卡片，则抽取到的数是偶数的概率为　　；

（2）随机抽取一张卡片后，放回并混在一起，再随机抽取一张，请用画树状图或列表法，求抽取出的两数之差的绝对值大于3的概率．

如图，在 $▱ ABCD$ 中，点 $E$ 在 $AB$ 的延长线上，点 $F$ 在 $CD$ 的延长线上，满足 $BE = DF$ ．连接 $EF$ ，分别与 $BC$ ， $AD$ 交于点 $G$ ， $H$ ．

求证： $EG = FH$ ．

计算： $\sqrt[3]{- 8} + | \sqrt{3} - 1 | - 2 \sin 60 ° + {(\frac{1}{4})}^{0}$ ．

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