阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔(J．Npler，15501-优题课

阅读以下材料：

苏格兰数学家纳皮尔 $(J$ ． $Npler$ ， $1550 - 1617$ 年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉 $(Evler$ ， $1707 - 1783$ 年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若 $a^{x} = N (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，那么 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $x = \log_{a} N$ ，比如指数式 $2^{4} = 16$ 可以转化为对数式 $4 = \log_{2} 16$ ，对数式 $2 = \log_{3} 9$ 可以转化为指数式 $3^{2} = 9$ ．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

$\log_{a} (M \cdot N) = \log_{a} M + \log_{a} N (a > 0$ ， $a \neq 1$ ， $M > 0$ ， $N > 0)$ ，理由如下：

设 $\log_{a} M = m$ ， $\log_{a} N = n$ ，则 $M = a^{m}$ ， $N = a^{n}$ ，

$∴ M \cdot N = a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ ，由对数的定义得 $m + n = \log_{a} (M \cdot N)$ ．

又 $∵ m + n = \log_{a} M + \log_{a} N$ ，

$∴ \log_{a} (M \cdot N) = \log_{a} M + \log_{a} N$ ．

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

（1）填空：① $\log_{2} 32 =$ 　　，② $\log_{3} 27 =$ 　　，③ $\log_{7} 1 =$ 　　；

（2）求证： $\log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N (a > 0$ ， $a \neq 1$ ， $M > 0$ ， $N > 0)$ ；

（3）拓展运用：计算 $\log_{5} 125 + \log_{5} 6 - \log_{5} 30$ ．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：有理数的乘方有理数的混合运算